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参照用 記事

雑記/備忘

2020年なのに、Webフォームの憂鬱

今って、2020年ですよね。6,7年前の2013年, 2014年に、「Webフォームが使いにくい」と文句をたれてたのですが、2020年の現在ならば、さすがにそんな酷いことはないだろう -- そう期待しますよね。だって、僕が指摘した問題点は、ごく簡単に修正できることで…

行列の圏のなかでモノイドを探す

今回もまた、セミナーへの補足を意図してますが、行列計算と圏の定義くらい知っていれば分かる話を書きます。(なので、このブログ。)最後の節は分からない話かも知れませんが、気にしないでください。前回の記事で、集合圏のなかでは、すべての対象(集合…

図式思考の例として、コモノイドについて考えてみる

セミナーでの話への補足なんですが、特別な話題ではなくて一般論なことなのでここに書きます。理解したり覚えたりする目的には、テキストで書かれた等式などは不向きであること、一方で具体的な表示・計算にはやはりテキストが有効であることを説明します。…

インデックスをできるだけ使わない共変微分計算

共変微分の接続係数が絡んだ計算を、インデックス〈添字〉無しで出来ないか? -- 行列成分/テンソル成分を表すインデックスの使用は抑えることが出来ます。成分にバラさないで、まるのまま計算すればいいからです。インデックスを使わないことと、基底を取…

圏にグロタンディーク流位相を与える方法

昨日の記事の続きです。内容: 色々な方法 使いやすい方法 開射の圏 まとめ 色々な方法集合Xがあるとき、Xに位相を載せる〈位相構造を与える〉標準的な方法は、開集合の集合 O⊆Pow(X) を特定することです。この方法が標準的ですが、他の方法もあります。閉包…

グロタンディーク流サイトについて調べてみた

サイト〈site〉とは、圏であり、その対象が位相空間のように扱える構造を備えたものです。“位相を持った圏”とも言われます。“サイト=位相を持った圏”はグロタンディークのアイディアですが、本来のグロタンディーク位相以外に、様々な変種があるので、それ…

シュバレー/アイレンベルク関手の話

おそらく2019年最後の記事。別に総括とかを意識はしてないですが、結果的にそれらしい記事になったかも知れません。自分で書いた過去記事を読んで「なんだこれ?」と思うことがあります。内容が分からないというよりは、動機を思い出せないのです。「何のた…

多様体上の関数、微分形式、接ベクトル場などの書き方

なにかについて伝える・語るとき、書き方・言い方を決めておかないと、行き違いや混乱が起きて苦労します。なので、記事タイトルにあるモノ達の「書き方」を決めておきます。扱うモノは、バンドルのセクション空間から派生するモノ達だけです。つまり、バン…

モノイド対象と単体的対象

「複体、複体、複体 … なんとかしてくれ!」を書いているときにふと思ったことがあるんですが、横道にそれるので書きませんでした。そのことをこの記事で書きます。ふと思ったこととは、「圏C内のモノイド対象と、圏C内の単体的対象は酷似した概念だなー」。…

複体、複体、複体 … なんとかしてくれ!

ホモロジー/コホモロジーの文脈で、「複体」という言葉が出てくるのですが、この言葉は多義的でいくつもの意味があります。大げさな言い方をすると、「出てくるモノはなんでも『複体』と呼んでいる」ようです。僕自身も混乱・困惑しましたし、コミュニケー…

関手と飾り文字

曖昧な記法だと、ほんとに話がグチャグチャになって、考えがまとまりません。記法の整理・整備は大事です。内容: 飾り文字 注釈飾り文字 識別飾り文字 関手飾り文字 微分幾何からの例 まとめ 飾り文字上付き・下付きで小さく書く文字・文字列を飾り文字と呼…

ビッグサイトから巨大サイトへ

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」の続きです。ビッグサイトを作るもとになるサイトがあるので、それを巨大サイトと呼び、巨大サイトに注目しようという話です。内容: 巨大サイト 開射を持つ圏 被覆 被覆の圏 巨大層へ 巨大サイト(なめらか…

セクション空間関手がとても便利な理由

多様体M上のベクトルバンドルEに対して、そのセクション空間を対応させる関手 E ΓM(E) がメチャクチャに便利です。なんで、こんなにも便利なんだろう? と考えてみました。マクロレベルで(多様体の圏、ベクトルバンドルの圏、可換環の圏、加群の圏、それら…

共変微分と平行移動の同値性

ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。 コジュール接続の圏 代数的平行移動 騙されるな、接続係数(クリストッフェル記号)の仕掛け 「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいな…

騙されるな、接続係数(クリストッフェル記号)の仕掛け

「コジュール接続の圏」で、共変微分の話をしました。そこで次のようなことを書きました。 選んだひとつの共変微分に対する、他の共変微分の“差分”(End1Form(E)Ab の要素)がいわゆる“接続係数”を定めます。ただし、共変微分の空間 CovDer(E) には、特別な…

代数的平行移動

最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、 コジュール接続 = ベクトルバンドル+共変微分 = ベクトルバン…

双線形写像のカリー化

カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。内容: 設定と約束 カリー化 共変微分 設定と約束RとFは可換環で、R⊆F (RはFの部分可換環)だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次…

コジュール接続の圏

先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。思い出すときのヒントは書きますが、詳しい話ではありません。あやふやなところ…

バンドルと層の記法 速記用

「バンドルと層の記法 まとめ」は、手書きで書くことを意識しています。が、それでも手書きだと書きにくい記法もあるので、もっと手早く書けるようにします。頻繁に使う3つの関手*1はギリシャ文字大文字で書くことにします。Φ, Ω, Ξ です。「ξ(グザイ)のい…

サイトと層の大きさやら作り方やら

3日前に書いた記事「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で「ビッグサイト」という言葉を使ったのですが、この言葉の典拠はnLab項目です。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLabには、他にラージサイト、スモールサイト、リトルサイトの項…

バンドルと層の記法 まとめ

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。内容: 圏 関手 バンドルとバンドル射 バンドルの演算 バンドルの移動 セクション セクション空間と層 層の演算 層の移動 より短い書き方は「バンドルと層の記法 速記用」 圏 Man -- (なめらかな…

融通無碍か曖昧模糊か

この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて」にあります。ただし、ベクトルバンドルFのxによる引き戻しは x#F にします。気付いた、というか、あらためて「そうなんだな」と思ったこと; 次の4種類のモノが区別されない…

ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字

「ビッグサイト」と言えば東京ビッグサイト。*1ではなくて、次のnLab項目を参照してください。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLab項目は一般的な設定で説明していますが、特定状況下で具体的なビッグサイトを利用する話をします。利用目的は微分…

偏微分記号の逆数形式: 瓢箪から駒

昨日、行きがかり上 という記号を導入しました。偏微分の記号 の分母と分子をひっくり返したものです。誰かこの記号を見たことありますか? (見たことある方は教えてくださいませ。) は の“逆”なのですが、偏微分作用素としての逆ではありません。線形代数…

なんだこれ? 奇妙な微分公式

取り急ぎのメモ。この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて」、「微分幾何におけるヤコビ行列の書き方: 因習の擁護」あたりに書いてあります。すべては「なめらかな世界」で考えます。NとMは多様体で f:N→M は写像とし…

一点での接ベクトルをハッキリさせよう: 三種類の定義

多様体の一点での接ベクトルを定義する方法が幾つかあります。微分作用素としての定義は以前述べました。その他の方法二種類も記しておきます。内容: 三種類の接ベクトルの定義 座標依存方式 曲線方式 相互関係 三種類の接ベクトルの定義この記事に出てくる…

モノイド閉圏: カリー化からニョロニョロまで

昨日の記事「ラムダ計算の自然性とお絵描き」で、ラムダ計算を行える〈do lambda calculus〉環境としてのモノイド閉圏を紹介しました。モノイド閉圏はカリー化を持ちます。カリー化に関わる素材と法則があれば、そこから指数随伴系〈テンソル・ホム随伴系〉…

ラムダ計算の自然性とお絵描き

タイトルの「自然性」は、国語辞書的な意味ではなくて、圏論の意味での自然性です。何が自然なのかというと、ラムダ計算の中核であるカリー化が自然だということです。なので、正確に言えば: ラムダ計算の中核であるカリー化は、圏論的な意味で自然である。…

微分幾何におけるヤコビ行列の書き方: 因習の擁護

伝統的(因習的)微分幾何の記法は、不合理の塊です。不合理な記法をやめられないのは、確かに便利だからです。xとyが多様体M上の2つの局所座標だとして、xからyへの座標変換のヤコビ行列(の成分)は、 と書きます。一方、f:M→N を多様体のあいだの(なめら…

微分幾何で上付き・下付きアスタリスクを使い過ぎるのはよくない

MとNはなめらかな多様体で、なめらかな写像 f:M→N があるとします。fから、fと同じ方向に誘導された写像や関手を f* 、fと逆方向に誘導された写像や関手を f* と書く習慣があります。しかし、“誘導された写像や関手”(あるいは“構成された写像や関手”)は色…