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参照用 記事

含意<がんい>から伴意<ばんい>へ

書きかけ記事のリストが長くなるばっかり……(マズイ)。書きかけをローカルディスクに溜め込むよりは、日記エントリにメモを書いておいたほうがいいのかな?

で、ちょっと論理(logic)っぽい話をします。ほとんど小咄です。

「A ならば B」というときの「ならば」に対する定式化が、論理ではやたらにイッパイでてきます。列挙しましょう(これでも一部):

  1. → : 含意(implies)
  2. |- : 証明可能(can prove, can derive)
  3. |= : 充足(satisfies)
  4. ⇒ : 伴意(entails)

記号はとりあえず互いに区別できればいい、というだけで、標準的な記法かどうかは気にしてません

まず、命題論理(propositional logic)の段階で登場する含意<がんい>A→B。これがわからない。A→Bは ¬A∨B(not A or B)と同じだと教わるのですが、納得いかんでしょ、たいてい。「A ならば B」を¬A∨Bだと思っている人なんて、いるのでしょうかね?

A→Bに対する違和感はとりあえず置いとくとして、適当な演繹<えんえき>系(証明系;deductive/deduction/proof system)を考えると、メタな命題として 「Aを仮定してBが証明できるなら、A→Bは仮定なしで証明できる」とその逆が成立することがあります。これを演繹定理と呼びます。

記号「|-」は、「左側を仮定して右側が証明できる」というメタな議論(証明論)で使う記号です。この記号を使えば、演繹定理(というメタ定理)は「A |- B ならば |- A→B」とその逆と書けます。どんな演繹系でも演繹定理が成り立つわけではありませんが、我々がよく使う演繹系ではOKでしょう、だいたい。

記号「|=」は、やはりメタな言明のための記号ですが、証明論ではなくてモデル論の記号です。モデルMと論理式Aに対して、M |= A とは、Mが命題Aを真にすることです。Mは条件Aを満たす(M satisfies A)といっても同じ。

最後の伴意<ばんい>とは、次のようなことです: M |= A であるようなモデルMに対しては、必ず M |= B であるとき、A ⇒ B と書きます。この定義からわかるように、記号「⇒」もモデル論的なものであり、しかも、やたらに超越的(人間の作業では確認できない/しにくい)ものです。

僕は、日常的な「ならば」は伴意だと思うのですよ。つまり、僕らは、モデル論的・超越的な感覚を最初から持っているような気がするのです。