モノイドをモノイドに作用させたら米田埋め込み

これも土曜の「データベースは圏なんだよ！の会」での一言に対する解説。モノイドMに対して標準的に決まるM-集合は米田埋め込みですよ、って話。

---

Mをモノイドとして、M = (M, ・, 1) とします。このモノイドMを圏とみなし、それも同じ記号Mで表します。圏Mの対象は1個しかないので、それを1と書くことにします（何でもいいのですけど、何かに決める）。すると、|M| = Obj(M) = {1}、Mor(M) = M です（少し記号の乱用あり）。

圏Mから集合圏Setへの関手の全体はまた圏になるので（関手圏）、それを [M, Set] = Set^M と書き、この圏の対象をM-集合と呼びます。この圏の射（自然変換）は、M-集合の準同型と呼びます。F∈|Set^M| を詳しく見てみると：

1. F(対象1) = S という集合が定まっている。
2. a∈M に対して、F(a):S→S という写像が定まっている。
3. F(射1) = id_S
4. F(a・b) = F(a);F(b)

F(a):S→S なので、x∈S に対して F(a)(x) が決まります。これを a★x と略記します。つまり、

• a★x := F(a)(x)

この定義から、

1. 1★x = x
2. (a・b)★x = b★(a★x)

(a・b)★x = b★(a★x) という公式でaとbの順番が入れ替わるのはイヤですね。Mの反対圏をM^opとして、M^opの演算は△とすれば、(a△b)★x = (b・a)★x = a★(b★x) となり気持ちよくなります。Mの代わりにM^opを使えば、関手圏は [M^op, Set] となり、M上の前層の圏となります。

以上のことをまとめると：

• モノイドMの反対（opposite）モノイドが左から作用する集合の圏は、圏M上の前層の圏である。

さて、米田埋め込みは、任意の（あまり大きくない）圏Cを、C上の前層の圏 [C^op, Set] に埋め込む方法でした。'-'（ハイフン記号）を無名のラムダ変数だとして、米田埋め込み関手Yは次のように定義されます。

• Y(対象A) := (C(A, -) : C^op→Set)
• Y(f:A→B) := ( f^* :: C(B, -)⇒C(A, -) : C^op→Set )

f^*は自然変換で、X∈|C| に対してf^*の成分 (f^*)_X:C(B, X)→C(A, X) は、次で与えられます。

• (f^*)_X(k:B→X) := (f;k : A→X)

C = M と置いて、米田埋め込みの定義を追いかけてみます。

• Y(対象1) := (M(1, -) : M^op→Set)
• Y(a:1→1) := ( a^* :: M(1, -)⇒M(1, -) : M^op→Set )

ここで、M(1, -) は関手ですが、対象は1しかないので、Y(1)(1) = M(1, 1) = M という単一の集合が決まってしまいます。射 a:1→1 in M に対して Y(a) = M(1, a) : M(1, 1)→M(1, 1) は次で定義されます。

• (a^*)₁(b:1→1) := (a・b : 1→1)

つまり、Y(a) = a^* とは、「aを、Mの要素に左から掛け算することです。a |→ a^* = λb.(a・b) が米田埋め込みを与えるわけです； Y = λb.λa.(a・b) 。aをλb.(a・b)として表現することを、群の置換表現だとケイリー（Cayley）表現と呼ぶことがあったと思います。モノイドに対しても同じ言葉を使うなら、

• モノイドMのケイリー表現は、圏Mの米田埋め込みになっている。