古典テンソル計算の上付き・下付きを、横に並べる - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

古典的なテンソル計算だと、a^k_ij みたいな、上付き・下付きの添字がイッパイ付いた記号が登場します。この記法はプレーンテキストで書けないのでどうしましょうか？という話。

上下を左右に変える

プログラミング言語だと、添字（インデックス）はブラケットで囲むのが多数派です。x_i なら x[i] と書きます。添字が2つでもブラケットは使えます。a_ij なら a[i, j] でいいでしょう。ちなみに、a_ij と書いたときの ij はひとつの記号ではなくて「iとj」です。

問題は上付きと下付きの別をどう表すか、です。どう考えても、カンマ以外の区切り記号を導入することになりますよね。次を決める必要があります。

カンマ以外の区切り記号に何を使うか。
「上と下」と「右と左」の対応をどうするか。

これは決めればいいだけで選択に優劣はありまん。ですが、こういう「どうでもいいこと」こそ決めにくくて、趣味的・感情的な議論になって疲弊したりします（たくさん経験した）。

ここでは、エイヤッと決めます。

カンマ以外の区切り記号はセミコロン。
上を左、下を右に対応させる。

そうすると、a^k_ij は a[k;i,j] となります。

セミコロンの省略規則も決めておきましょう。セミコロンを律儀に使うなら、xⁱ は x[i;]、y^j は y[;j] と書くことになりますが、x[i;] に関しては x[i] と書いていいことにします。しかし、y[;j] を y[j] とは書けません。

以上の約束では、a[i,j] と a[i;j] は別物です。a[i,j] は a^ij の対応物、a[i;j] は aⁱ_j の対応物ですから、テンソルとしての種類が違います。

総和

古典テンソル計算における大発明は、総和記号の省略法であるアインシュタインの規約（Einstein convention）でしょう。b^k_ja^j_i とか a^j_ixⁱ とか見たら、次のような総和を補って解釈する、という約束です。

$b^{k}_{j}a^{j}_{i} = \sum_{j}b^{k}_{j}a^{j}_{i}$
$a^{j}_{i}x^{i} = \sum_{i}a^{j}_{i}x^{i}$

つまり、上下に同じ添字が現れたら総和記号が省略されていると見なします。総和に使われる添字（上下に現れる添字）は、実際には総和記号に束縛されているので、添字の名前を変えることが許されます。次は、jをhにリネームする例です。

$b^{k}_{j}a^{j}_{i} = \sum_{j}b^{k}_{j}a^{j}_{i} = \sum_{h}b^{k}_{h}a^{h}_{i} = b^{k}_{h}a^{h}_{i}$

アインシュタインの規約は、式の長さを短縮してくれますが、慣れないと分かりにくいです。どこで和が取られているかを視認するトレーニングが必要。では、総和を丁寧に書くとどうなるでしょうか。
$\sum_{j} \,\sum_{i}a^{i}_{j}$
これは十分にわかりやすいのですが、添字の範囲が明示されてません、i, jが走る範囲（の集合）を対応する大文字I, Jで示すとすれば、
$\sum_{j\in J} \,\sum_{i\in I}a^{i}_{j}$
これは総和の繰り返しですが、2次元的に一挙に総和するなら、次のように書けばいいでしょう。
$\sum_{(i, j)\in I\times J} a^{i}_{j}$