指数関手や加群圏の簡単な例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

比較的最近の記事で二項指数関手を扱い、その例を幾つか挙げています。

指数関手と構文論・意味論 // 二項指数関手の例

上記の記事より簡単な例をここで述べます。加群圏とその準同型についても触れます。

内容：

有限集合と有限次元ベクトル空間
写像ベクトル空間の二項関手性
モノイド圏上の加群圏
関手の連続性と指数法則
加群圏の準同型としての次元関手

有限集合と有限次元ベクトル空間

「指数関手と構文論・意味論 // 二項指数関手の例」の三番目の例は、コンパクト・ハウスドルフ空間と連続写像の圏CompHousと、バナッハ空間と有界（＝連続）線形写像の圏Banに関するものでした -- ちょっとむずかしげ。コンパクト・ハウスドルフ空間を離散なものに限ってみます。すると、離散コンパクト・ハウスドルフ空間＝有限集合と簡単になります。ベクトル空間も有限次元の空間だけ考えればよくなります。

以下、有限集合と写像の圏をFinSet、有限次元ベクトル空間と線形写像の圏をFdVectとします。有限次元ベクトル空間のスカラー体〈係数体 | 基礎体〉は何でもいいので特に指定しません（が、何かに固定されています）。

圏FinSetは、集合の直積によりモノイド圏になります。また、集合の直和によってもモノイド圏になります。FinSetにモノイド構造を考えるとき、どちらのモノイド構造かが分かるように、次の書き方をしましょう。

FinSet_× = (FinSet, ×, 1)
FinSet₊ = (FinSet, +, 0)

1は単元集合、0は空集合です。結合律子と左右の単位律子は省略しています（律子に関しては「律子からカタストロフへ」を参照）。

圏FdVectも、2つのモノイド構造を持ちます。有限集合のときと同じ記法を採用します。

FdVect_⊗ = (FdVect, $\otimes$ , I)
FdVect_⊕ = (FdVect, $\oplus$ , O)

Iはスカラー体と同型な1次元ベクトル空間、Oはゼロ空間です。テンソル積モノイド構造は、今回表立っては使いません。

圏FdVectで圏論的直積を考えると、それはベクトル空間の直和に一致します。ベクトル空間の直和は圏論的直積でもあり圏論的直和でもある双積〈biproduct〉というものです。そこで、' $\oplus$ 'を'×'とも、OはZとも書くことにしして、次のモノイド構造（直和モノイド構造と同じ）も考えます。

FdVect_× = (FdVect, ×, Z)

FinSetもFdVectも、2つのモノイド構造が分配法則で連携しています。この意味で、この2つの圏は半環圏〈semiringal category | semiring category〉です。が、今回はこの事実は使いません。半環圏の定義については「デカルト半環圏の定義を確認してみる（デカルト半環作用圏のために）」を参照してください。

写像ベクトル空間の二項関手性

以下、X, Yなどは有限集合、V, Wなどは有限次元ベクトル空間とします。有限集合Xから有限次元ベクトル空間Vへの写像の全体をMap(X, V)とします。v∈Map(X, V) とすると、v:X→V です。このvは、Xでインデックスされたベクトルの族（I-indexed family of vectors）と考えることもできます。

Map(X, V)にはVのベクトル空間構造に基づき、（標準的な）ベクトル空間構造を入れることができます。Map(X, V)をベクトル空間と考えましょう。つまり、Map(X, V)∈|FdVect| となります。さらに、φ:X→Y, f:V→W に対して、Map(φ, V), Map(X, f), Map(φ, f) を次のように定義できます。非形式的なラムダ記法を使います。

Map(φ:X→Y, V):Map(Y, V)→Map(X, V)
Map(φ, V) := λu∈Map(Y, V).(λx∈X.u(φ(x)))
Map(X, f:V→W):Map(X, V)→Map(X, W)
Map(X, f) := λv∈Map(X, V).(λx∈X.f(v(x)))
Map(φ:X→Y, f:V→W):Map(Y, V)→Map(X, W)
Map(φ, f) := λu∈Map(X, V).(λx∈X.f(u(φ(x))))

Map(φ, f)だけを上記のように定義して、Map(φ, V), Map(X, f) を次のようにしてもかまいません。

Map(φ, V) := Map(φ, id_V)
Map(X, f) := Map(id_X, f)

このように定義された Map:FinSet^op×FdVect→FdVect が二項関手〈双関手〉になること（以下の等式）は簡単に確認できます*1。

Map((ψ, f);(φ, g)) = Map(φ;ψ, f;g) = Map(ψ, f);Map(φ, g)
Map(id_{(X, V)}) = Map(id_X, id_V) = id_{Map(X, V)}

Map(-, -) を中置記法 - $\odot$ - と書いてみると；

(φ;ψ) $\odot$ (f;g) = (ψ $\odot$ f);(φ $\odot$ g)
id_X $\odot$ id_V = id_X⊙V

FinSetが反変（反対圏）になっているのでちょっと形がイレギュラーですが、' $\odot$ 'を一種の積とみなして、交替律〈interchange law | exchange law〉が成立していることになります。

モノイド圏上の加群圏

M = (M, $\otimes$ , I) がモノイド圏、Cが単なる圏のとき、二項関手 $\odot$ :M×C→C が左モノイド作用〈left monoidal action〉であるとは、およそ次が成立することです。

(X $\otimes$ Y) $\odot$ A $\stackrel{\sim}{=}$ X $\odot$ (Y $\odot$ A)
I $\odot$ A $\stackrel{\sim}{=}$ A

律子と一貫性もちゃんと考慮した正確な定義は次の記事を参照してください。

モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形

モノイド圏M、圏C、左モノイド作用 $\odot$ を組にした(M, C, $\odot$ )を、左加群圏〈left mudule category〉と呼びます。右モノイド作用と右加群圏も同様に定義できます。

左加群圏(M, C, $\odot$ )があると、Mのモノイド積を逆転させたモノイド圏M'に対する右加群圏(M', C, $\odot$ ')を作ることができます。M'は、射の向きはMと同じなので反対圏ではありません。モノイド積の向きが反転しています -- そういう圏に特に呼び名はないようです。

M' = (M, $\otimes$ ', I) として、X $\otimes$ 'Y := Y $\otimes$ X
A $\odot$ 'X := X $\odot$ A

同様に、M上の右加群圏からM'上の左加群圏が作れます。

有限集合の圏FinSetには直積モノイド構造がありました。有限次元ベクトル空間の圏は、とりあえずは単なる圏と考えます。Map(X, V)をX $\odot$ Vとも書きます。この状況で：

(X×Y) $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ X $\odot$ (Y $\odot$ V) （Map(X×Y, V） $\stackrel{\sim}{=}$ Map(X, Map(Y, V))）
1 $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ V （Map(1, V） $\stackrel{\sim}{=}$ V）

つまり、FdVectは、左モノイド作用 - $\odot$ - = Map(-, -) によりFinSet_×上の左加群圏になります。右加群圏構造も定義できます。FinSet_×は対称モノイド圏なので、左加群圏と右加群圏に本質的な差はありません。

関手の連続性と指数法則

関手の連続性は意外と厄介な概念です。連続性の定義には圏の完備性が必要で、完備性には極限が必要で、極限の定義と存在は使用する形状圏（または箙〈えびら〉）のクラスに依存します。このことは「指数関手と構文論・意味論 // 指数関手＝反変連続・共変連続なモノイド作用」で述べています。極限については次の記事を参照してください。

圏論の極限を具体的に

Φを箙のクラスとして、どんな図式 Q∈Φ, F:Q→C も極限を持つときCはΦ-完備で、余極限を持つときΦ-余完備でした。Φを有限離散箙のクラスに選んだとき、Φ-完備は有限離散完備、Φ-余完備は有限離散完備になります。次が成立します。

Cが有限離散完備である ⇔ Cは終対象と有限直積を持つ
Cが有限離散余完備である ⇔ Cは始対象と有限直和を持つ

有限離散(余)完備性に関する連続性を有限離散(余)連続と呼ぶことにすると、F:C→D に関して：

Fが有限離散連続である ⇔ Fが終対象と有限直積を保つ
Fが有限離散余連続である ⇔ Fが始対象と有限直和を保つ

極限が反対圏では余極限であることから、G:C^op→D に関して：

Gが有限離散連続である ⇔ Gは始対象を終対象に写し、有限直和を有限直積に移すCからの反変関手である
Gが有限離散余連続である ⇔ Gは終対象を始対象に写し、有限直積を有限直和に移すCからの反変関手である

さて、Map(-, -) = - $\odot$ - :FinSet^op×FdVect→FdVect は、V∈|FdVect| を固定すると FinSet^op→FdVect という関手となり、X∈|FinSet| を固定すると FdVect→FdVect という関手になります。それぞれの関手の有限離散連続性は次のように記述されます。

0 $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ Z
(X + Y) $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ (X $\odot$ V)×(Y $\odot$ V)
X $\odot$ Z $\stackrel{\sim}{=}$ Z
X $\odot$ (V×W) $\stackrel{\sim}{=}$ (X $\odot$ V)×(X $\odot$ W)

以上に述べた性質は、指数関数の次の性質（1から4）に対応します。

a⁰ = 1
a^x+y = a^xa^y
1^x = 1
(ab)^x = a^xb^x
a¹ = a
(a^x)^y = a^xy

5番目と6番目は、先の述べた左加群性です。

1 $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ V
(X×Y) $\odot$ V $\stackrel{\sim}{=}$ X $\odot$ (Y $\odot$ V)

加群圏の準同型としての次元関手

有限次元ベクトル空間には、その次元と呼ばれる自然数が一意的に決まります。次元dimは、圏FdVectの対象達の上で定義された自然数値関数とみなされていますが、関手に仕立てましょう。さらに、次元関手は、FinSet_×上の加群圏のあいだの準同型とみなせます。

まず、次元関手が値を取る圏Dを定義します。Dは、集合N（自然数全体の集合）から作った余離散圏〈密着圏 | カオス圏〉です。

|D| = N
Mor(D) = {[n, m] | n, m∈N}
dom([n, m]) = n, cod([n, m]) = m
[n, m];[m, k] = [n, k]
id_n = [n, n]

任意の圏CからDへの関手 F:C→D は、その対象部分だけで決定されてしまいます。次の1：1対応があります*2。

(関手 F:C→D) ←→ (関数 |C|→|D|)

したがって、dim:|FdVect|→N は、関手 Dim:FdVect→D とみなせます。

圏Dに対して、FinSet_×の左モノイド作用を定義します。

X $\odot$ n := #(X)・n

ここで、#(X)は有限集合Xの基数である自然数、'・'は自然数の掛け算です。これが左モノイド作用である条件は次のとおり：

1 $\odot$ n := #(1)・n = n
(X×Y) $\odot$ n := #(X×Y)・n = X $\odot$ (Y $\odot$ n) = #(X)・(#(Y)・n)

#(X×Y) = #(X)・#(Y) を考慮すれば明らかですね。

モノイド圏M上の左加群圏C, Dがあるとき、関手 F:C→D が左加群圏の準同型であるとは、およそ次が成立することです。

X $\odot$ F(A) $\stackrel{\sim}{=}$ F(X $\odot$ A)

次元関手Dimでは、

X $\odot$ Dim(V) = Dim(X $\odot$ V)

つまり、

#(X)・dim(V) = dim(X $\odot$ V) = dim(Map(X, V))

が成立します。有限次元ベクトル空間の次元は、有限集合の直積モノイド圏が作用する左加群圏のあいだの準同型関手の例になります。

*1:反対圏が入る等式は、ラフに書くと分かりにくいですね。図式を使ったりして丁寧に考えてみてください。

*2:圏に対象集合を対応させる関手を Obj:Cat→Set、集合から余離散圏を作る関手を Codisc:Set→Cat とすると、CodiscとObjは随伴関手対になります。Set(Obj(C), S) $\stackrel{\sim}{=}$ Cat(C, Codisc(S)) という随伴同型があります。