グロタンディーク構成と積分記号

グロタンディーク構成はやたらに出てきますね。グロタンディーク構成に関わる記法をここで決めておきたいと思います。

[追記 date="2019-05-16"]この記事内に出現する「ファイバー付き圏〈fibered category〉」の一部は「反ファイバー付き圏〈opfibered category〉」(「余ファイバー付き圏〈cofibered category〉」ともいう)にすべきです。余インデックス圏〈coindexed category〉から作られたファイブレーションは反ファイバー付き圏になります。が、「ファイバー付き」を「ファイバー付き、または反ファイバー付き」と解釈してもらえればいいので、修正はしません。[/追記]

内容:

インデックス付き圏のグロタンディーク構成

Bを圏として、Bから圏の圏CATへの反変関手 F:BopCATインデックス付き圏〈indexed category〉と呼びます。CATは、必ずしも小さくない圏も含みますが、サイズ問題が気になるなら小さな圏の圏Catで考えてください。実際の例では、大きな圏が出てきてしまうことがあります。

インデックス付き圏は関手なのですが、Bの対象をインデックスとする圏のインデックス族〈indexed family of categories〉のように考えるので、C, D のような(単一の圏と同じ)記号が使われることがあります。また、C(X) ではなく、C[X] と書くことにします。ブラケットは、プログラミング言語でインデックスを表す標準的記法です。インデックス付き圏は、圏論における配列データのようなものです。

インデックス付き圏 C[-]:BopCAT があると、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉を行うことができます。それに関しては:

平坦化圏とファイバー付き圏

インデックス付き圏C[-]に対して、グロタンディーク構成を行うと何ができるのでしょう? これがどうも曖昧なので、ここでハッキリさせます。

グロタンディーク構成で次のような圏ができます。

  • 対象は、Bの対象XとC[X]の対象Aのペア (X, A)
  • 射は、f:X→Y in B と φ:A→C[f](B) in C[X] のペア (f, φ)

この圏を、グロタンディーク構成により作られた平坦化圏〈flattened category〉と呼びます。(X, A) \mapsto A, (f, φ) \mapsto f という写像を組み合わせると、平坦化圏からBへの射影関手になり、ファイバー付き圏〈fibered category〉を定義します。

つまり、グロタンディーク構成の成果物が2種類考えられます。

  1. インデックス付き圏から作られた平坦化圏
  2. インデックス付き圏から作られたファイバー付き圏

平坦化圏のほうを、積分記号を使って次のように表すことにします。

  •  \int_{x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]

ファイバー付き圏は次のように書けます。

  •  \int_{x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

ここで、矢印はファイバー付き圏の射影関手を表します。射影関手にいちいち名前〈ラベル〉を付ける必要はないでしょう。

平坦化を表すために積分記号は使う前例はあるのですが、エンド/コエンド〈end/coend〉に積分記号を使うので、僕は使用を躊躇していました。しかし、他にいい記法もないので積分記号を使うことにします。

ちなみに、グロタンディーク構成も、エンド/コエンドと積分記号も、創始者は米田信夫です。以下の記事参照。

射のパートと方向

平坦化圏  \int_{x\in {\mathcal B}}{\mathcal C}[x] の射は、f:X→Y in B と φ:A→C[f](B) in C[X] のペアでした。fをベースパート〈base part〉、φをファイーバーパート〈fiber part〉と呼ぶことにします。ベースパートはベース射〈base morphism | 底射〉とも呼びます。代数幾何では、ファイーバーバートを余射〈comorphism〉と呼ぶようです*1

平坦化圏の射の作り方として、ファイーバーバートを ψ:C[f](B)→A in C[X] と定義することもできます。最初の定義とはファイーバーバートが逆向きです。しかし、整合的な定義になります。

最初に出した平坦化圏の定義を標準だとみなすと、二番目のやり方で作った平坦化圏は(ファイーバーバートが)逆方向になるので、逆方向平坦化圏〈backwordly flattened category〉と呼ぶことにします。必要があれば、最初の定義の平坦化圏を順方向平坦化圏〈forwardly flattened category〉といいます。

逆方向平坦化圏とそのファイーバー付き圏は、次の記号で表すことにします。

  •  \int_{\leftarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]
  •  \int_{\leftarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

また、順方向平坦化圏であることを明示的に強調したいなら:

  •  \int_{\rightarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]
  •  \int_{\rightarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

逆方向平坦化圏/ファイバー付き圏は、マリオスの抽象多様体の圏の定義のときに使っています。

上記の記事では、「逆方向」を「反」で表していますが、反対圏〈opposite category〉と紛らわしいので「逆方向」にしました。

余インデックス付き圏

インデックス付き圏は、関手として反変関手ですが、共変関手 C[-]:BCAT を考えることができます。共変関手の場合は余インデックス付き圏〈coindexed category〉と呼びます。

C[-] がB上の余インデックス付き圏のときも、同様にグロタンディーク構成ができます。余インデックス付き圏へのグロタンディーク構成で得られた平坦化圏を余平坦化圏〈coflattened category〉と呼ぶことにします。

余平坦化圏における射 (X, A)→(Y, B) は、次のように定義します。

  • F = (f, φ): (X, A)→(Y, B)
  • f:X→Y in B
  • φ:C[f](A)→B in C[Y]

余平坦化圏とそのファイーバー付き圏は次のように書きます。

  •  \int^{x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]
  •  \int^{x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

積分記号に上付きを使うのは、エンド/コエンドの書き方と同じです。

逆方向余平坦化圏〈backwardly coflattened category〉とそのファイバー付き圏も同様に定義できて、次のように書きます。

  •  \int^{\leftarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]
  •  \int^{\leftarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

順方向平余坦化圏〈forwardly coflattened category〉であることを強調したいなら:

  •  \int^{\rightarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x]
  •  \int^{\rightarrow\; x\in {\mathcal B}} {\mathcal C}[x] \:\rightarrow {\mathcal B}

事例: 加群に至るファイーバー付き圏の系列

グロタンディーク構成を何段階にも渡って行うと、ファイーバー付き圏の系列ができます。そのような系列の実例として、次の系列を紹介しましょう。


\int_{\rightarrow\: r} Mod[r] \:\rightarrow
\int_{\rightarrow\; k} CRng[k] \:\rightarrow
\int_{\rightarrow\; p} Field[p] \:\rightarrow Prime\cup\{0\}

右のほうから順に説明します。

体の圏

体〈field〉を対象として、体のあいだの準同型写像を射とする圏Fieldを考えます。体のあいだの準同型写像は埋め込み、つまり体の拡大になります。体にはその標数〈characteristic〉が決まります。標数は0か素数です。

体の全体は、標数で分類できます。Field[p] を標数pの体の圏だとすると、

  • Field = \coprod_{p \in Prime\cup\{0\}}Field[p]

と書けます。ここで、Primeは素数の集合です。

集合 Prime∪{0} を離散圏とみなすと、p \(\mapsto\) Field[p] は、離散圏でインデックスされたインデックス付き圏になります。インデックス付き圏 Field[-] のファイバー付き圏は次のように書けます。


\int_{\rightarrow\; p} Field[p] \:\rightarrow Prime\cup\{0\}

積分記号右下の p∈Prime∪{0} を p だけで略記しています。

可換環の圏

体K上のベクトル空間であって、結合的・単位的・可換な掛け算を持つ多元環〈algebra | 代数〉をK-可換環と呼びます。K-可換環は、環としての掛け算以外に体Kによるスカラー乗法(作用)を持ちます。

f:K→L を体の射(体の拡大)とします。L-可換環Bは、fを経由してKによるスカラー乗法を持つことになるので、K-可換環とみなせます。L-可換環B \(\mapsto\) (K-可換環とみなしたB) という対応により、インデックス付き圏 CRng[-]:FieldCAT ができます。

このインデックス付き圏に対するファイバー付き圏の系列は次のように書けます。


\int_{\rightarrow\; k} CRng[k] \:\rightarrow
\int_{\rightarrow\; p} Field[p] \:\rightarrow Prime\cup\{0\}

加群の圏

体K上の可換環Aがあると、その上の加群Mを考えることができます。可換環のあいだの射 (f, φ):(K, A)→(L, B) があると、(L, B) 上の加群Nは、射 (f, φ) を経由して (K, A) 上の加群とみなせます。これにより、次のようなインデックス付き圏が定義されます。

  •  Mod[-]: \int_{\rightarrow\; k\in {\bf Field}} CRng[k] \:\rightarrow {\bf CAT}

インデックス付き圏 Mod[-] に対するファイバー付き圏の系列は次のようになります。


\int_{\rightarrow\: r} Mod[r] \:\rightarrow
\int_{\rightarrow\; k} CRng[k] \:\rightarrow
\int_{\rightarrow\; p} Field[p] \:\rightarrow Prime\cup\{0\}

用語・記法の補足とまとめ

ファイバー付き圏もファイバーバンドルも、どちらもファイブレーションなので、類似の用語を使うことにします。

ファイバー付き圏 ファイバーバンドル
全圏 全空間
ベース圏, 底圏 ベース空間, 底空間
射影関手 射影写像
ファイバー ファイバー
(底圏の射の)持ち上げ (底空間のパスの)持ち上げ

間違いを少なくするために、次の記法も使います。

  • C[-] がインデックス付き圏のとき、C[f] を C*[f] とも書きます。誤解の恐れがないなら、C*[f] を f* と略記します。
  • C[-] が余インデックス付き圏のとき、C[f] を C*[f] とも書きます。誤解の恐れがないなら、C*[f] を f* と略記します。

グロタンディーク構成は、与えられたインデックス付き圏から、ファイバー付き圏を作り出す手段とみなしましょう。できたファイバー付き圏の全圏が平坦化圏となります。

余インデックス付き圏の場合も考えて、平坦化圏/余平坦化圏の射の方向まで考えると、4種類の平坦化演算子があります。それらは:

  1. \(\int_{\rightarrow} \) : 順方向平坦化演算子
  2. \(\int_{\leftarrow} \) : 逆方向平坦化演算子
  3. \(\int^{\rightarrow} \) : 順方向余平坦化演算子
  4. \(\int^{\leftarrow} \) : 逆方向余平坦化演算子

これらは別物ですが、どれも使います

これぐらいの約束をしておけば、混乱や曖昧さはだいぶ避けられるでしょう。

*1:ベースパートと向きが逆であるファイバーパートを余射と呼んでいる傾向があります。逆方向余平坦化圏の場合が、ファイバーパートが「余射」らしい状況です。