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局所元のジャームセクションとセクションジャームの評価

層に関してちょっと 2: 層化」において、セクション層関手Γとジャーム空間関手Λが、関手の随伴ペア(随伴系)を形成している、という話をしました。それに少し補足をします。

この記事の主たる目的は例題の記述です。後で、この内容を例題にしてナニゴトかやりたい、という目論見があります(目論見倒れになるかも知れないが)。

内容:

準備

層に関してちょっと 2: 層化」で使った用語と記号をそのまま使いますが、ごく短い復習、略記と追加事項をこの節で述べます。

位相空間Xを固定します。X上の集合前層の圏 PSh[X] を単にPShと略記します(Xはずっと固定するので)。X上の相対空間の圏 RelSp[X] も単にRelSpとします。

ちょと復習をしておきます。Xの開集合の全体に包含順序を考え、さらにそれを圏とみなしたものを Open(X) と書きます。X上の集合前層〈presheaf of sets | set-valued presheaf〉とは、反変関手 F:Open(X)opSet のことでした(それ以上の意味はありません)。以下、集合前層しか扱わないので、集合前層を単に前層といいます。

前層は、集合概念の拡張のように考えます。U∈|Open(X)| として、a∈F(U) のとき、aをU上に広がったFの元〈要素〉と考えます。a∈F(X) ならば、aは大域元〈global element〉です。Fの元、つまり適当なUに対する F(U) の元を局所元〈local element〉と呼びます(大域元は特別な局所元です)。a∈F(U) であるとき、Uを局所元aの存在域〈domain of existence〉と呼ぶことにします。F(X) が空集合である(大域元がない)場合でも、局所元(半端な元)を持つ場合があります。

相対空間〈relative space〉とは、単に連続写像 φ:A→X のことです。次の呼び名を使います。

  • Xを相対空間の底空間〈base space〉と呼ぶ。
  • Aを相対空間のメイン空間〈main space〉と呼ぶ。
  • φを相対空間の構造写像〈structure map〉と呼ぶ。
  • x∈X に対する逆像 φ-1(x) を Ax と書き、(点x上の)ファイバー〈fiber | fibre〉と呼ぶ。

底空間Xを固定しているので、A = (A, X, φA) のような書き方(記号の乱用)も使います -- メイン空間の名前により相対空間の構造全体も表します。

相対空間は単なる写像 φA:A→X に過ぎないので:

  • 構造写像 φA:A→X が全射とは限らない。
  • したがって、ファイバー Ax = φ-1(x) は空かも知れない。
  • 異なる点 x, y におけるファイバー Ax, Ay は全然違う(同型でない)空間かも知れない。
  • AとXには、何の仮定もない。非ハウスドルフ空間のことがある。

連続写像 s:U→A で、s;φA = idU であるものを相対空間AのU上のセクション〈section | 断面〉と呼びます。セクションは写像なので、x∈U に対する値 s(x)∈A を持ちます。前層の局所元 a∈F(U) をしばしばセクションのように扱いますが、抽象的なセクションなので、値 a(x) はありません

セクション関手とジャーム関手

層に関してちょっと 2: 層化」に、次の関手について記述してあります。

  1. Γ:RelSpPSh
  2. Λ:PShRelSp

Γをセクション層関手、Λはジャーム空間関手(より正確にはジャーム相対空間関手)と呼びました。長たらしいでの、セクション関手〈section functor〉、ジャーム関手〈germ functor〉とも呼びます。

[補足]Γ(A)として得られた前層は、単なる前層ではなく、層の条件を満たします。よって、Γをセクション層関手と呼びます。また、Λ(F)として得られた相対空間は、単なる相対空間ではなく、エタール空間の条件を満たします。Λをジャーム・エタール空間関手と呼ぶのが適切かも知れません(長過ぎるけど)。[/補足]

セクション関手Γは、相対空間 A = (A, X, φA) に対して、

  • Γ(A) は前層で、Γ(A)(U) := (AのU上のセクションの全体)

と定義します。習慣により、Γ(A)(U) を Γ(U, A) とも書きます。ハイフンを無名ラムダ変数とすると、Γ(A) = Γ(A)(-) = Γ(-, A) 。U⊆V に対する Γ(U⊆V, A):Γ(V, A)→Γ(U, A) (制限写像)は自然に定義できます。

相対空間のあいだの写像 f:A→B (f;φB = φA)があると、Γ(f):Γ(A)→Γ(B) in PSh が誘導されます。U⊆X に対して、(s:U→A) \mapsto (s;f:U→B) が F(f)(U):F(A)(U)→F(B)(U) を与えます。習慣的記法では、Γ(U, f):Γ(U, A)→Γ(U, B) 、Uを抽象(無名ラムダ変数化)すれば Γ(-, f):Γ(-, A)→Γ(-, B) 。

一方のジャーム関手Λは、

  • Λ(F) := (Germ(F), X, πF)

と定義します。Germ(F)は、Fのジャームをすべて寄せ集めた空間です。g∈Germ(F) は、適当なUと x∈U 、それと a∈F(U) を使って、

  • g = [a]x

と書けます(この表示は重要)。ジャームは局所元の同値類なので、[a]x は局所元aが所属する同値類でストークFxに入るものを意味します。ストークについては「層に関してちょっと 2: 層化」を参照してください。

πF:Germ(F)→X は、πF(g) = πF([a]x) = x と定義します。a∈F(U) のとり方によらずにxが決まることは明らかでしょう。πFは相対空間 (Germ(F), X, πF) の構造写像です。(Germ(F), X, πF) におけるファイバー Germ(F)x = πF-1(x) は、FのストークFxになります。

  • Germ(F)x = Fx

等式の左辺の下付きxはファイバーで、右辺の下付きxはストークです。混乱の危険がありますが、便利な記法です。

ラムダ記法の変種

ラムダ記法は、常に型付きで使います。それにも関わらず、λx.E のように書いてあったら、次のように解釈します。

  1. ラムダ変数xの型は文脈から補えるから省略している。
  2. 式Eの型は“型推論”出来るので省略している。

明示的に型を指定するときは次のように書きます。

  • λx:X.(E :Y)

型の指定に、集合への所属記号を使ってもかまいません。

  • λx∈X.(E ∈Y)

最近は、ギリシャ文字'λ'の代わりに矢印〈アロー〉だけを使う書き方もよく使います。

  • (x:X |→ E :Y)

アロー記法〈arrow notation〉といいます。次のような変種も認めます。

  • (X∋x |→ E ∈Y)
  • (Y∋ E ←| x∈X)
  • (E ←| x)

'λ'記法とアロー記法を混ぜて使うこともあります。ラムダっぽい書き方は、臨機応変に解釈してください。

局所元のジャームセクション

前層Fがあるとき、Fの局所元aに対して、そのジャームセクション〈germ section〉とは λx∈U.[a]x という関数です。ここでUは、aの存在域です。

ジャームセクションは、相対空間 Germ(F) = (Germ(F), X, πF) に対するセクション集合 Γ(U, Germ(F)) の要素(つまりセクション)になります。仮想的・抽象的セクションであった局所元aが、実際のセクションになるのです。

前層Fに対して、(局所元 |→ ジャームセクション) という対応をγとして、γを記述してみます。γ(a) = λx∈U.[a]x なので、

  • γ = (a |→ λx∈U.[a]x)

型を明示すると、

  • γ = (F(U)∋a |→ λx∈U.[a]x ∈Γ(U, Germ(F)))

γは、U∈|Open(X)| に依存することになるので、γの下付きでUを添えると:

  • For U∈|Open(X)|, γU = (F(U)∋a |→ λx∈U.[a]x ∈Γ(U, Germ(F)))

これは、自然変換のU-成分を与えます。

  • γU:F(U)→Γ(U, Germ(F))

Uを抽象して、Germ(F)とΛ(F)は同じ意味なので、Germ(F)をΛ(F)で置き換えれば、

  • γ:F→Γ(Λ(F)) in PSh

となります。

セクションジャームの評価

A = (A, X, φA) が相対空間のとき、Γ(A) は前層で、その対応は、

  • (U |→ Γ(U, A))
  • (U⊆V |→ (Γ(V, A)→Γ(U, A)))

と書けます。前層Γ(A)の局所元はセクションです。セクションのジャームgは次の表示を持ちます。

  • g = [s]x 、sはセクション

セクションのジャームは、単なる局所元のジャームとは違い、一点での値を持ちます。ジャーム g = [s]x の点xでの値は、

  • g(x) := s(x)

として定義します。セクションがU上のA値連続関数であることから、セクション(ジャームの代表元)の選び方によらずに g(x)∈A が決まります。

  • e = (g |→ g(x))

と置くと、写像eは、Germ(Γ(A))→A という対応で次を満たします。

  • e;φA = πΓ(A)

つまり、eは相対空間のあいだの写像となります(連続性などを別途示す必要がありますが)。写像eを、セクションジャームの評価写像〈evaluation map〉と呼びます。「評価」は関数の値を求める操作を意味します。

Germ(F)とΛ(F)は同じ意味なので置き換えれば、

  • e:Λ(Γ(A))→A in RelSp

となります。

随伴系

ΓとΛは関手の随伴ペア(随伴系)ですが、Λが左でΓが右なので、

  • Λ -| Γ

と書けます。随伴系を支配しているのは、単位自然変換と余単位自然変換です。それも書けば(随伴系の書き方に関しては「随伴に関する注意事項」を参照してください):

  • η, ε: Λ -| Γ

単位ηと余単位εは次の形をしています。

  • η::IdPSh⇒Γ・Λ : PShPSh
  • ε::Λ・Γ⇒IdRelSp : RelSpRelSp

自然変換の成分を取り出せば:

  • ηF:F→Γ(Λ(F)) in PSh
  • εA:Λ(Γ(A))→A in RelSp

前々節と前節で述べた局所元のジャームセクションγとセクションジャームの評価eは、上記の自然変換成分でした。

  • γ = ηF
  • e = εA

つまり、γとeの定義は、随伴系の具体的な記述の一部です。この具体的な定義をもとに、ΛとΓの随伴性をちゃんと(できるだけフォーマルに)示すのが次に(いつか)やりたいことです。