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テンソル記法の決定版は(たぶん)これだ!

昨日話題にしたネルソンのテンソル記法は、けっこう便利だと思うのですが、テンソル空間 -- 例えば V\otimesW* に対して N(V/ W) = 2-Lin((V+, W), R) を引き合いに出すところが、人によっては分かりにくいでしょう。あまり普及しないのも、それが原因かも知れません。

ネルソン記法にも不満な点があるわけです。伝統的(あるいは因習的)記法は、もちろん不満だらけです。ディラックのブラケット記法は「よくできているなー」と感心するのですが、やはり幾つかの不満があります。

これら諸々の不満を並べてみて、不満を解消できるテンソル記法はないものか? と、しばらく考えてみました。現時点において、次のような記法が(僕の判断基準では)最良だと思います。

名称 記法 意味
適用(評価)  < f\mid x> 線形形式 f をベクトル x に適用した値
適用(評価)   f x 上と同じ(併置による略記)
基底ベクトル {}^I[{}_i ] i∈I で識別される基底ベクトル
基底コベクトル {}^I[{}^i ] i∈I で識別される基底コベクトル
スカラー乗法  s\triangleright x ベクトル x の s 倍
スカラー乗法  x\triangleleft s ベクトル x の s 倍
テンソル  x \otimes y ベクトル x とベクトル y のテンソル
基底テンソル {}^I[{{}_{i,j}}^k ]  {}^I[{}_i ] \otimes {}^I[{}_j ] \otimes {}^I[{}^k ]  の略記

このなかで、「i∈I で識別される」がポイントです。I はインデックス集合〈indexing set〉ですが、次のどの解釈をしても大丈夫です。

  1. I は番号(整数)の集合である。
  2. I は(番号とは限らない)ラベルの集合である。
  3. I はベクトル空間 V の基底である。
  4. I はベクトル空間 V の双対空間 V* の基底である。

もちろん、心のやすらぎのために、どれかひとつの解釈に固定することも出来ます。

伝統的記法が困る点のひとつは、併置による略記が使われ過ぎなことです。上記の記法では異なる演算子記号を与えている次の演算達、そしてスカラーの掛け算がすべて併置で表記されます。

  1. 適用
  2. スカラー乗法
  3. スカラー乗法
  4. テンソル
  5. スカラーの掛け算

[追記]伝統的テンソル計算で、併置が一番使われる場面は“縮約”ですね。縮約は、テンソル積の順序交換と適用の組み合わせとも言えます。成分だけの計算だと縮約は簡単ですが、(成分ではなくて)テンソルの縮約をテキストで書くのは面倒です。このことも、テンソル(の実体)を扱わずに成分だけを扱う理由かも知れません。[/追記]

これらの演算に別な記号を明示的に使うのは、確かに煩雑です。省略したくなります。省略したいなら省略してもかまいません。問題は、明示的に書きたいときに書く方法がないことです。ちゃんと書く方法があるのなら、そこから徐々に省略はできます。

例として、次の基本的な展開公式を取り上げましょう。

 x = \sum_{i\in I} (\; < {}^I[{}^i ] \mid x> \triangleright\; {}^I[{}_i ] \;)

これは、ベクトル空間 V の基底 {  {}^I[{}_i] | i∈I }⊆V により、ベクトル x∈V を展開しています。

まず、インデックス集合 I は了解されているものとして省略します。

 x = \sum_{i} (\; < [{}^i ] \mid x> \triangleright\; [{}_i ] \;)

適用は併置で略記します。

 x = \sum_{i} (\; ( [{}^i ]  x )\triangleright\; [{}_i ] \;)

慣例に従い、 [{}^i ]  x  x^i と書きます。

 x = \sum_{i} (\;  x^i \triangleright\; [{}_i ] \;)

 [{}_i] を、ディラックのケットベクトル  |i\rangle で書くと、

 x = \sum_{i} (\;  x^i \triangleright\; |i\rangle  \;)

スカラー乗法も併置で略記します。

 x = \sum_{i} (\;  x^i  |i\rangle  \;)

ケットベクトル  |i\rangle の代わりに  b_i(i でインデックスされた基底ベクトル)とすれば、

 x = \sum_{i} (\;  x^i  b_i \;)

アインシュタインの規約に従い総和記号を省略すると、

 x = ( x^i  b_i )

 b_i は了解されているものとして省略すると、

 x = ( x^i )

省略し過ぎた気がするので、インデックス集合 I を復活させれば、

 x = (  x^i )^{i\in I}

となります。

 ( x^i ) とか  (  x^i )^{i\in I} は、最終的に得られる表示です。簡略な記法では、このような表示がどうやって得られたのか? 関与している対象物と操作〈演算〉、メカニズムを推測することが出来ません。表示を機械的に取り扱う手順だけは出来ても、背後の実体は謎のまま、またはボンヤリ曖昧に想定するだけになります。

最初の記法  \sum_{i\in I} (\; < {}^I[{}^i ] \mid x> \triangleright\; {}^I[{}_i ] \;) は確かに煩雑ですが、対象物・操作・メカニズムへの豊富なヒントが含まれます。煩雑さという代償を払って、明確で間違いが少ないというメリットを得ているのです。そしてその煩雑さは後からいくらでも解消できます(今やってみたように)。煩雑さの解消の逆向きの行為、つまり、省略されまくった記法から背後にある対象物・操作・メカニズムを推測するのは極めて困難です。

今回は記法を出しただけで、背後にある対象物・操作・メカニズムの説明はしてませんが、具体的な構文そのものより、「簡潔さは犠牲にしても、省略や同一視を避けて、明確で間違いにくい構文にする」という構文設計のポリシーが重要です。伝統的記法は、「明確さや間違いにくさは犠牲にしても、省略や同一視を多用して、簡潔な構文にする」というポリシーを採用しています。伝統的記法は既に広く使われているので、その欠点を補うために、逆のポリシーの構文があってもいいと思うのです。


[追記]「決定版」と言いながら「修正が入るのはどういうこった!?」なんだけど、タイトルに「たぶん」を入れておいたから許して。

  1. 適用〈評価〉は、通常の意味より一般化して、 \cdots\otimes A^*A\otimes\cdots の並びから A* と A を消すような演算に拡張。絵を描かないと分かりにくい。論理で言えば ¬A or A を排中律で消すこと。とりあえず、一般化適用〈一般化評価〉と呼んでおくか。
  2. 併置による略記は、原則的になし(オフィシャルには認めない)とする。省略・略記の規則は別に設ける。
  3. 結合〈合成〉を忘れていた。
  4. 双対に左双対 A* と右双対 *A の別があったほうがよいのかな?
  5. フレーム概念を導入する。フレームは F:I→V、コフレームは G:J→V* で、像集合が基底になるもの。
  6. 縮約については別に述べる。

修正版の表:

名称 記法 意味・注意
一般化評価  < y \mid x> (絵を描かないと説明し難い)
結合(合成)   g \circ f 反図式順
基底ベクトル {}_F[{}_i ] フレーム F により、i∈I で識別される基底ベクトル
基底コベクトル {}_F[{}^i ] フレーム F により、i∈I で識別される基底コベクトル
スカラー乗法  s\triangleright x ベクトル x の s 倍
スカラー乗法  x\triangleleft s ベクトル x の s 倍
テンソル  x \otimes y ベクトル x とベクトル y のテンソル
基底テンソル {}_F[{{}_{i,j}}^k ]  {}_F[{}_i ] \otimes {}_F[{}_j ] \otimes {}_F[{}^k ]  の略記

インデキシング〈ラベリング〉方式を次のように分類する。F:I→V はフレーム、G:J→V* はコフレーム。欄内は、基底ベクトルの書き方。ダイレクトとは、フレーム/コフレームの写像が包含写像になること。

ダイレクト インダイレクト
フレームベース  {}_I[{}_i]  {}_F[{}_i]
コフレームベース  {}^J[{}_j]  {}^G[{}_j]

インデキシング方式ごとに、基底ベクトル/基底コベクトルの定義が少し変わる。

[/追記]