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ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて

一昨日の記事「接ベクトル場の定義:補遺」の続きをちょっと書こうかと思ったら、記号の説明がけっこうめんどくさいことに気づきました。とりあえず、後で参照できるように記法を整理しておくことにします。記法は、過去の記事(↓)とできるだけ(完全に、ではない)合わせます。

記法の羅列だけではつまらないので、表題の「ベクトルバンドル射の逆写像」を話題にします。目標は、次の可換図式を示すことです。この図式内に登場する記号を順に説明していきます。でも、説明はあまり丁寧じゃないです。

\require{AMScd}\newcommand{\hyph}{\mbox{-}}\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{\mbox{inv}} }
\begin{CD}
Iso{\bf VectBundle}(E, F)/x @>{(\hyph)^{-1} }>>      Iso{\bf VectBundle}(F, E)/x^{-1} \\
@V{ (\hyph)^{\uparrow} }VV                           @A{(\hyph)^{\downarrow} }AA \\\
\Gamma_{|E|}(iso(E, x^\ast F))  @>{\inv{(\hyph)} }>> \Gamma_{|F|}(iso(F, x_\ast E))
\end{CD}

[追記]まだ未整理なところがあることを「訂正+α: 逆方向グロタンディーク平坦化圏の重要性」に書きました。[/追記]

内容:

多様体の圏

r階微分可能多様体の圏を Man(r) とします。ほとんどの場合、なめらかな〈無限階微分可能な〉多様体を扱うので、Man := Man(∞) と約束します。

特別な射を表す形容詞 Iso, End, Aut は、ホムセット記法に前置することにします。

  • IsoMan(M, N) := {f∈Man(M, N) | f は iso}
  • EndMan(M) := Man(M, M)
  • AutMan(M) := IsoMan(M, M)

区切り目が分かりにくいときは、アンダースコア付きの Iso_, End_, Aut_ を前置することもあります。

ホムセットを表すために、C(M, N) := Man(M, N) も使います。C(M, R) は C(M) と略記します。ただし、C(M) と書いたときは可換環構造を一緒に考えていることが多いです。明白に可換環であることを強調したいときは、A(M), Ω0(M) も使います。A(M) はマリオスの"algebraized space"の記法、Ω0(M) は0次微分形式の可換環の意味です。マリオスの概念・記法に関しては次の記事を参照してください。

僕のお気に入りの言葉使いなら、M \mapsto A(M) は、多様体の圏Man上の(全域的)可換環モダリティです。このモダリティは、反変関手に拡張できて、層の素材になります。モダリティに関しては:

ベクトルバンドル

ベクトルバンドルは次の構成素からなります。

  1. 全空間
  2. 底空間
  3. 射影
  4. 典型ファイバー(なくてもかまわないが)

Eがベクトルバンドルのとき、記号を節約するために次の書き方をすることにします。

  1. 全空間: Etot、誤解のおそれがなければ E
  2. 底空間: |E|
  3. 射影: πE
  4. 典型ファイバー: E0

典型ファイバーE0は、点0での実際のファイバー(後述)と区別できませんが、たいした弊害はないのでいいとします。

f:E→F がベクトルバンドルの準同型(ベクトルバンドル射)のとき、全空間のあいだの写像を ftot:Etot→Ftot、底空間のあいだの写像を fbase:|E|→|F| とします。次の可換図式が、f = (ftot, fbase) がベクトルバンドル射である条件です。

\require{AMScd}
\begin{CD}
E_{\mbox{tot}} @>{f_{\mbox{tot}} }>>   F_{\mbox{tot}} \\
@V{\pi_E}VV                            @VV{\pi_F}V \\
 |E|           @>{f_{\mbox{base}} }>>  |F|
\end{CD}

誤解のおそれがなければ、f:Etot→Ftot, f:|E|→|F| と記号の乱用(名前'f'のオーバーロード)をします。記号を乱用した可換図式は:

\require{AMScd}
\begin{CD}
E     @>{f }>>  F \\
@V{\pi_E}VV     @VV{\pi_F}V \\
 |E|  @>{f }>>  |F|
\end{CD}

p∈|E| に対して、Ep = {u∈E | πE(u) = p} はp上のファイバー〈fibre | fiber〉です。fp:Ep→Ff(p) はファイバー間の写像を表します。

N⊆|E| が部分多様体(多くの場合は開集合)のとき、E|N は、((πE)-1(N), (πE)|E)-1(N), N) により定義されるベクトルバンドル制限ベクトルバンドル〈restricted vector bundle〉)を表します。ファイバー Ep は、制限ベクトルバンドル E|{p} の全空間と考えることができます。次のような自明な可換図式があります。


\begin{CD}
E_p @>f_p>> F_p \\
@VVV     @VVV \\
\{p\} @>>> \{f(p)\}
\end{CD}

ベクトルバンドルの圏

ベクトルバンドルの圏を「主バンドルの基本的なこと (1/2)」に従って、VectBundle と書きます。当然ながら、次が成立します。

  • f:E→F in VectBundle ⇔ f∈VectBundle(E, F)

x:|E|→|F| をひとつ選んで、

  • VectBundle(E, F)/x := {f∈VectBundle(E, F) | fbase = x}

と定義します。f∈VectBundle(E, F)/x であるとき、fはx上の射〈morphism over x〉ともいいます。なお、「主バンドルの基本的なこと (1/2)」では、VectBundle(E, F)/x を VectBundle(E, F)[x] と書いてました。

M∈|Man| に対して、圏 VectBdl[M] を次のように定義します。

  • |VectBdl[M]| := (M上のベクトルバンドルの全体)
  • For E, F∈|VectBdl[M]|,
    VectBdl[M](E, F) := VectBundle(E, F)/idM

後で述べるベクトルバンドルの引き戻しを使うと、x:M→N に対して、関手 x*:VectBdl[N]→VectBdl[M] が定義できるので、VectBdl[-] は全体としてインデックス付き圏〈indexed category〉になります。

VectBundleVectBdl[-] の関係は次のとおり。

VectBdl[-] からのグロタンディーク構成で得られるファイバー付き圏は、Base:VectBundleMan です。ここで、Baseはベクトルバンドルにその底空間を対応させる関手です。

今までの話で、ファイバーがベクトル空間であることは使ってないので、一般のファイバーバンドルでも同じです。

  • Bundle はファイバーバンドルの圏
  • Base:BundleMan が底空間関手から定義されるファイバー付き圏
  • Bdl[-] は、ファイバー付き圏に対応するインデックス付き圏

セクションの空間とベクトルバンドルの引き戻し

Eがベクトルバンドルのとき、r階微分可能なセクションの集合を Γ(r)(E) と書きます。Γ(E) := Γ(∞)(E) と約束するので、階数rを書くことはほぼありません。Eの底空間を添えて Γ|E|(E) とも書きます。この書き方は冗長ですが、ときに役立ちます。

Fがベクトルバンドルで、x:M→|F| が(なめらかな)写像のとき、s:M→F がx上のセクション〈section over x〉、またはxに沿ったセクション〈section along x〉だとは次のことです。

  • πF\circs = x : M→|F|

x上のセクションの全体を ΓM(F/x) と書きます。例えば、α:R⊇(a, b)→R2 が平面曲線(運動)とすると、αの速度ベクトル関数vは、v∈Γ(a, b)(T(R2)/α) となります。次の図式が可換になります。


\begin{CD}
{\bf R}\supseteq (a, b) @>v>>       T({\bf R}^2) \\
@|                                  @V{\pi}VV \\
(a, b)                  @>\alpha>>  {\bf R^2}
\end{CD}

x:M→|F| により、FをM上に持ってくることができます。これを、Fのxによる引き戻し〈pullback〉と呼び、x*F と書きます。ベクトルバンドルの引き戻しの厳密な構成法は示しませんが、次の同型が標準的に成立します。

  • ΓM(x*F) \cong ΓM(F/x) -- 引き戻しとセクションの関係

例えば、すぐ上の平面曲線(運動)の例なら:

  • Γ(a, b)*T(R2)) \stackrel{\sim}{=} Γ(a, b)(T(R2)/α)

ベクトルバンドルに対する様々な構成

線形代数における多くの構成は、ベクトルバンドルにも適用できます。例えば、直和 \oplusテンソル\otimes、双対空間 (-)* などは、ベクトルバンドルに対しても構成できます。

ベクトル空間に対する別な構成をあげます; ベクトル空間 X, Y に対して、XからYへの線形写像の全体からなるベクトル空間を hom(X, Y) または [X, Y] と書いて、内部ホムベクトル空間〈internal hom vector space〉とか指数ベクトル空間〈exponential vector space〉と呼びます。

内部ホムベクトル空間の部分集合(部分ベクトル空間とは限らない)として、次があります。

  • iso(X, Y) : IsoVect(X, Y) に対応するベクトルからなる部分集合。iso(X, Y)⊆hom(X, Y)
  • end(X) : hom(X, X) のこと。end(X) = hom(X, X) 。end(X) は多元環〈代数〉になる。
  • aut(X) : iso(X, X) のこと。aut(X)⊆end(X) 。aut(X) は群になる。

w∈iso(X, Y) 可逆線形写像に対応するので、逆があります。その逆を w-1 と書くと後で混乱のもとになるので、w と書くことにします。(-):iso(X, Y)→iso(Y, X) です。特別な場合として、(-):aut(X)→aut(X) があり、群の逆元を与えます。

線形代数の構成を真似するには、その舞台として VectBdl[M] (M∈|Man|)をとります。

  1. E, F∈|VectBdl[M]| に対して、E×F を構成できる。E×F はベクトルバンドルにならなくてもいいので、E×F∈|Bdl[M]| と考える。
  2. E, F∈|VectBdl[M]| に対して、E\oplusF を構成できる。E\oplusF の台は E×F だがベクトルバンドルの構造を与えるので、E\oplusF∈|VectBdl[M]| 。
  3. E, F∈|VectBdl[M]| に対して、E\otimesF を構成できる。E\otimesF∈|VectBdl[M]| 。
  4. E∈|VectBdl[M]| に対して、E* を構成できる。E*∈|VectBdl[M]| 。
  5. E, F∈|VectBdl[M]| に対して、hom(E, F) を構成できる。hom(E, F)∈|VectBdl[M]| 。
  6. E, F∈|VectBdl[M]| に対して、iso(E, F) を構成できる。iso(E, F) はベクトル空間にはならないので、iso(E, F)∈|Bdl[M]|
  7. E∈|VectBdl[M]| に対して、end(E) を構成できる。end(E) はベクトル空間構造に加えて乗法を持ち多元環〈代数〉になるので、end(E)∈|AlgBdl[M]| 。AlgBdl[M] は、M上の多元環〈代数〉バンドルの圏。
  8. E∈|VectBdl[M]| に対して、aut(E) を構成できる。aut(E) はベクトル空間にはならないが群になるので、aut(E)∈|GrpBdl[M]| 。GrpBdl[M] は、M上の群バンドルの圏。

ベクトル空間に対する構成とベクトルバンドルに対する構成は同じ名前で呼ぶことにします。「ホイットニー和」のような特別な呼称は使いません。

演算子記号 ベクトル空間 ベクトルバンドル
× ベクトル空間の直積集合 ベクトルバンドルの直積バンドル
\oplus 直和ベクトル空間 直和ベクトルバンドル
\otimes テンソル積ベクトル空間 テンソルベクトルバンドル
 (\hyph)^\ast 双対ベクトル空間 双対ベクトルバンドル
hom(-, -) 内部ホムベクトル空間 内部ホムベクトルバンドル
iso(-, -) 内部アイソ集合 内部アイソバンドル
end(-) 内部エンド多元環 内部エンド多元環バンドル
aut(-) 内部オート群 内部オート群バンドル

これらの構成は、集合のレベルでは、ファイバーごとに構成して寄せ集めることになります。


E\times F = \coprod_{p\in M}(E_p \times F_p) \\
E\oplus F = \coprod_{p\in M}(E_p \oplus F_p) \\
E\otimes F = \coprod_{p\in M}(E_p \otimes F_p) \\
E^\ast = \coprod_{p\in M} E^\ast  \\
hom(E, F) = \coprod_{p\in M} hom(E_p, F_p) \\
iso(E, F) = \coprod_{p\in M} iso(E_p, F_p) \\
end(E) = \coprod_{p\in M} end(E_p) \\
aut(E) = \coprod_{p\in M} aut(E_p) \\

ベクトルバンドルの引き戻しの圏論的性質

x:M→N in Man のとき、F∈|VectBdl[N]| をxで引き戻して、x*F∈|VectBdl[M]| を作れます。前節の「ファイバーを寄せ集める」記法を使えば次のように書けます。

  •  x^\ast F := \coprod_{p\in M}F_{x(p)}

g:F→G in VectBdl[N] のとき、x*g:x*F→x*G in VectBdl[M] も次のように書けます。

  •  x^\ast (f:F \to G) := \coprod_{p\in M} (f_{x(p)} : F_{x(p)} \to G_{x(p)})

もちろんこれは、雰囲気的な書き方なので、別途厳密な確認が必要ですが、x*VectBdl[N]VectBdl[M] という関手になっていることは分かるでしょう。ベクトルバンドルに限らず、一般的なファイバーバンドルや、特定の構造が付いたバンドル(例: 多元環バンドル、群バンドル)も引き戻せるので、次のような関手もあります。

  • x*:Bdl[N]Bdl[M]
  • x*:AlgBdl[N]AlgBdl[M]
  • x*:GrpBdl[N]GrpBdl[M]

要するに、N上のナントカバンドルの圏からM上のナントカバンドルの圏への引き戻し関手が定義できます。

注目すべきことは、引き戻し関手により、前節で定義した様々な構成が(up-to-iso で)保存されることです。


x^\ast (E\times F) \cong x^\ast E \times x^\ast F \\
x^\ast (E\otimes F) \cong x^\ast E \otimes x^\ast F \\
x^\ast (E\oplus F) \cong x^\ast E \oplus x^\ast F \\
x^\ast (E^\ast) \cong (x^\ast E)^\ast \\
x^\ast hom(E, F) \cong hom(x^\ast E, x^\ast F) \\
x^\ast iso(E, F) \cong iso(x^\ast E, x^\ast F) \\
x^\ast end(E) \cong end(x^\ast E) \\
x^\ast aut(E) \cong aut(x^\ast E) \\

なぜ引き戻しが構成を保存するか? だいたいの感じをつかむために、次の典型的等式変形を見てください。


\:\:\:\: x^\ast (E\times F) \\
 =  \coprod_{p \in M}(E\times F)_{x(p)} \\
 =  \coprod_{p \in M}( E_{x(p)} \times F_{x(p)} ) \\
 = x^\ast E \times x^\ast F

これ以上の詳細は述べませんが、ベクトルバンドルの圏は、ベクトル空間の圏とほぼ同じように扱える便利な圏なのは分かるでしょう。

ベクトルバンドル射のセクション化

以下のような同型があります。

  • VectBundle(E, F)/x \cong Γ|E|(hom(E, x*F))

この同型の左から右への写像セクション化〈sectionize〉と呼びます(定義はすぐ後)。f∈VectBundle(E, F)/x に対して、それをセクション化したものを f と書くことにします(f∈Γ|E|(hom(E, x*F)))。

セクション化 f \mapsto f のだいたいのところを記します。

  1. p∈|E| に対して、fが決めるファイバーのあいだの写像は fp:Ep→Fx(p) 。つまり、fp∈hom(Ep, Fx(p)) 。
  2. 内部ホムベクトルバンドルの作り方から、hom(Ep, Fx(p)) \cong (hom(E, x*F))p なので、fp∈(hom(E, x*F))p とみなしてよい。
  3. 上の“みなし”のもとで、p \mapsto fp は、|E|→hom(E, x*F) というセクションになる。このセクションを f とする。

セクション化 f \mapsto f の逆写像が作れるので、それを s \mapsto s とします。(-)|E|(hom(E, x*F))→VectBundle(E, F)/x を、反セクション化〈desectionize | 脱セクション化〉と呼びましょう。


\begin{CD}
{\bf VectBundle}(E, F)/x  @>{(\hyph)^{\uparrow} }>>  \Gamma_{|E|}(hom(E, x^\ast F)) \\
@|                                                    @| \\
{\bf VectBundle}(E, F)/x  @<{(\hyph)^{\downarrow} }<< \Gamma_{|E|}(hom(E, x^\ast F)) \\
\end{CD}

セクション化/反セクション化の同型により、ベクトルバンドル射と適当なベクトルバンドルのセクションは同一視可能になります。

ベクトルバンドル射の逆写像と対応するセクション

底空間のあいだの写像 x:|E|→|F| が可逆だとして、セクション化/反セクション化の同型 VectBundle(E, F)/x ←→ Γ|E|(hom(E, x*F)) は、次の同型も導きます。

  • IsoVectBundle(E, F)/x ←→ Γ|E|(iso(E, x*F))

ただし、iso(E, x*F) はもはやベクトルバンドルではないことに注意してください。iso(E, x*F) はベクトルバンドルではないファイバーバンドルです。

可逆なベクトルバンドル射ならば、逆射(ベクトルバンドル準同型としての逆写像)を対応付けることができるので、次の同型もあります。

  • IsoVectBundle(E, F)/x ←→ IsoVectBundle(F, E)/x-1

これらから、冒頭に出した可換図式の一部を描けます。

\require{AMScd}\newcommand{hyph}{\mbox{-}}
\begin{CD}
Iso{\bf VectBundle}(E, F)/x @>{(\hyph)^{-1} }>>      Iso{\bf VectBundle}(F, E)/x^{-1} \\
@V{ (\hyph)^{\uparrow} }VV                           @A{(\hyph)^{\downarrow} }AA \\\
\Gamma_{|E|}(iso(E, x^\ast F))  @.                   \Gamma_{|F|}(iso(F, x_\ast E))
\end{CD}

欠けている射(下の段の左から右)も、残りの射から構成できます。

  • (-)inv := (-)\circ(-)-1\circ(-) = (((-))-1)

しかし、より直接的に (-)inv を記述してみましょう。ちょっと細かい話をしますが、実用上は次の定義で十分です。

  • For s∈Γ|E|(iso(E, x*F)),
    sinv := s\circ(x-1)

最初に、(-):iso(E, x*F)→iso(x*F, E) in Bdl[|E|] というバンドル射(ベクトルバンドル射ではない)があることを注意します。これは、各点ごとの (-):iso(Ep, Fx(p))→iso(Fx(p), Ep) を寄せ集めて束ねればいいわけです。

次に、s∈Γ|E|(iso(E, x*F)) に対して、

  • s := (-)\circs

と定義します。点ごとの値は、

  • s(p) := s(p)

です。s\circ(x-1)∈Γ|F|(iso(x*F, E)/x-1) であることは分かります。

ところで引き戻しとセクションの関係から、

  • Γ|F|(iso(x*F, E)/x-1) \cong Γ|F|((x-1)*(iso(x*F, E)))

右辺の Γ(-) のなかのバンドルは、次のような同型の列で変形できます。x* = (x-1)* です。


\:\:\:\: (x^{-1})^\ast(iso(x^\ast F, E)) \\
\cong    iso((x^{-1})^\ast x^\ast F, (x^{-1})^\ast E) \\
\cong    iso(F, x_\ast E)

結局、

  • Γ|F|(iso(x*F, E)/x-1) \cong Γ|F|(iso(F, x*E))

この同型に沿って s\circ(x-1)∈Γ|F|(iso(x*F, E)/x-1) を右に動かせば、sinv∈Γ|F|(iso(F, x*E)) が得られます。