微分幾何で上付き・下付きアスタリスクを使い過ぎるのはよくない

MとNはなめらかな多様体で、なめらかな写像 f:M→N があるとします。fから、fと同じ方向に誘導された写像や関手を f_* 、fと逆方向に誘導された写像や関手を f^* と書く習慣があります。しかし、“誘導された写像や関手”（あるいは“構成された写像や関手”）は色々あります。なので、なんでもかんでも上付き・下付きアスタリスクで書くと混乱した状況になります。

まず、しばしば（このブログ内でも）「f_* と f^*」で書き表す関手を、アスタリスク以外の記法に置き換えておきます。以下で使う記号・記法に関しては、「ベクトルバンドル射の逆写像：記法の整理をかねて」と「層に関してちょっと」を参照してください。

N上のベクトルバンドルを、M上のベクトルバンドルに引戻す関手を f^# : VectBdl[N]→VectBdl[M] と書くことにする。
fが可逆のとき、f_# := (f^-1)^# : VectBdl[M]→VectBdl[N] と約束する。
N上の加群層を、M上の加群層に引戻す関手を f^-| : A_N-ModSh[N]→A_M-ModSh[M] と書くことにする。A_N = C^∞_N(-) は関数可換環の層、A_Mも同様。
M上の加群層を、N上の加群層に前送りする関手を f_|- : A_M-ModSh[M]→A_N-ModSh[N] と書くことにする。

上付き・下付きアスタリスクで書かれる（可能性がある）写像や関手を表にまとめます。[追記]横長のでかい表はハミ出して見にくいようです。分割して上下に並べます。[/追記]

番号	下付きアスタリスク
1	$f_\ast = (f^{-1})^\ast:C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(N)$
2	$f_\ast = (f^{-1})^\ast = (f^{-1})^\# :{\bf VectBdl}[M]\to{\bf VectBdl}[N]$
3	$f_\ast = Tf :TM \to TN \:\mbox{or}\:\: TM \to f^\# TN$
4	$f_\ast = T_pf :T_pM \to T_{f(p)}N$
5	$f_\ast = T^\ast(f^{-1}) : f_{\#}T^\ast M \to T^\ast N$
6	$f_\ast = T^\ast_q(f^{-1}) :T^\ast_{f^{-1}(q)} M \to T^\ast_{q} N$
7	$f_\ast = \Gamma(Tf) : \Gamma(TM) \to \Gamma(f^{\#}TN)$
8	$f_\ast = (f^{-1})^\ast = \Gamma(T^\ast(f^{-1})) : \Gamma(f_{\#}T^\ast M) \to \Gamma(T^\ast N)$
9	$f_\ast = f_{\vdash} :{\mathcal A}_M\mbox{-}{\bf ModSh}[M] \to {\mathcal A}_N\mbox{-}{\bf ModSh}[N]$
10	$f_\ast : \Gamma_M(\mbox{-}, TM) \to f^{\dashv}\Gamma_N(\mbox{-}, TN)$
11	$f_\ast : \Gamma_M(\mbox{-}, T^\ast M) \to f^{\dashv}\Gamma_N(\mbox{-}, T^\ast N)$

番号	上付きアスタリスク
1	$f^\ast :C^{\infty}(N) \to C^{\infty}(M)$
2	$f^\ast = f^\# :{\bf VectBdl}[N]\to{\bf VectBdl}[M]$
3	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = T(f^{-1}):TN \to TM \:\mbox{or}\:\: TN \to f_\# TM$
4	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = T_q(f^{-1}):T_qN \to T_{f^{-1}(q)}M$
5	$f^\ast = T^\ast f : f^{\#}T^\ast N \to T^\ast M$
6	$f^\ast = T^\ast_p f :T^\ast_{f(p)} N \to T^\ast_p M$
7	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = \Gamma(T(f^{-1})) : \Gamma(TN) \to \Gamma(f_{\#}TM)$
8	$f^\ast = \Gamma(T^\ast f) : \Gamma(f^{\#}T^\ast N) \to \Gamma(T^\ast M)$
9	$f^\ast = f^{\dashv} :{\mathcal A}_N\mbox{-}{\bf ModSh}[N] \to {\mathcal A}_M\mbox{-}{\bf ModSh}[M]$
10	$f^\ast : \Gamma_N(\mbox{-}, TN) \to f_{\vdash}\Gamma_M(\mbox{-}, TM)$
11	$f^\ast : \Gamma_N(\mbox{-}, T^\ast N) \to f_{\vdash}\Gamma_M(\mbox{-}, T^\ast M)$

[追記]もとのでかい表（ハミ出す）[/追記]

番号	下付きアスタリスク	上付きアスタリスク
1	$f_\ast = (f^{-1})^\ast:C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(N)$	$f^\ast :C^{\infty}(N) \to C^{\infty}(M)$
2	$f_\ast = (f^{-1})^\ast = (f^{-1})^\# : {\bf VectBdl}[M]\to{\bf VectBdl}[N]$	$f^\ast = f^\# :{\bf VectBdl}[N]\to{\bf VectBdl}[M]$
3	$f_\ast = Tf :TM \to TN \:\mbox{or}\:\: TM \to f^\# TN$	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = T(f^{-1}):TN \to TM \:\mbox{or}\:\: TN \to f_\# TM$
4	$f_\ast = T_pf :T_pM \to T_{f(p)}N$	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = T_q(f^{-1}):T_qN \to T_{f^{-1}(q)}M$
5	$f_\ast = T^\ast(f^{-1}) : f_{\#}T^\ast M \to T^\ast N$	$f^\ast = T^\ast f : f^{\#}T^\ast N \to T^\ast M$
6	$f_\ast = T^\ast_q(f^{-1}) :T^\ast_{f^{-1}(q)} M \to T^\ast_{q} N$	$f^\ast = T^\ast_p f :T^\ast_{f(p)} N \to T^\ast_p M$
7	$f_\ast = \Gamma(Tf) : \Gamma(TM) \to \Gamma(f^{\#}TN)$	$f^\ast = (f^{-1})_\ast = \Gamma(T(f^{-1})) : \Gamma(TN) \to \Gamma(f_{\#}TM)$
8	$f_\ast = (f^{-1})^\ast = \Gamma(T^\ast(f^{-1})) : \Gamma(f_{\#}T^\ast M) \to \Gamma(T^\ast N)$	$f^\ast = \Gamma(T^\ast f) : \Gamma(f^{\#}T^\ast N) \to \Gamma(T^\ast M)$
9	$f_\ast = f_{\vdash} :{\mathcal A}_M\mbox{-}{\bf ModSh}[M] \to {\mathcal A}_N\mbox{-}{\bf ModSh}[N]$	$f^\ast = f^{\dashv} :{\mathcal A}_N\mbox{-}{\bf ModSh}[N] \to {\mathcal A}_M\mbox{-}{\bf ModSh}[M]$
10	$f_\ast : \Gamma_M(\mbox{-}, TM) \to f^{\dashv}\Gamma_N(\mbox{-}, TN)$	$f^\ast : \Gamma_N(\mbox{-}, TN) \to f_{\vdash}\Gamma_M(\mbox{-}, TM)$
11	$f_\ast : \Gamma_M(\mbox{-}, T^\ast M) \to f^{\dashv}\Gamma_N(\mbox{-}, T^\ast N)$	$f^\ast : \Gamma_N(\mbox{-}, T^\ast N) \to f_{\vdash}\Gamma_M(\mbox{-}, T^\ast M)$