偏微分記号の逆数形式：瓢箪から駒 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

昨日、行きがかり上 $\frac{\partial x}{\partial}$ という記号を導入しました。偏微分の記号 $\frac{\partial }{\partial x}$ の分母と分子をひっくり返したものです。

誰かこの記号を見たことありますか？（見たことある方は教えてくださいませ。）

$\frac{\partial x}{\partial}$ は $\frac{\partial }{\partial x}$ の“逆”なのですが、偏微分作用素としての逆ではありません。線形代数的な逆です。

数・関数・行列などの掛け算記号を省略せずに、一律にドットで書きます（これ、重要！）。Haskellのセクション記法を借りて、左からaを掛ける写像を (a・)、右からaを掛ける写像を (・a) と書きます（これも重要）。偏微分作用素を含んだ行列の計算を次のように決めます。

$\frac{\partial} {\partial x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial} {\partial x^1} & \frac{\partial} {\partial x^2} & \cdots & \frac{\partial} {\partial x^n} \end{bmatrix} \:\\ v = \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ : \\ : \\ v^n \end{bmatrix} \\$

として、掛け算は：

$\:\:\:\: \frac{\partial} {\partial x}\cdot v\\ = \begin{bmatrix} \frac{\partial} {\partial x^1} & \frac{\partial} {\partial x^2} & \cdots & \frac{\partial} {\partial x^n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ : \\ : \\ v^n \end{bmatrix} \\ = \frac{\partial} {\partial x^1}\cdot v^1 + \frac{\partial} {\partial x^2}\cdot v^2 + \cdots + \frac{\partial} {\partial x^n}\cdot v^n$

クドイですが、ドットは掛け算です。偏微分作用素としての作用ではありません。通常は、誤解を避けるために左から関数を掛け算します（掛け算記号なし）。しかしそうすると、お馴染みの行列計算のルールと整合しません。

この計算は多様体上の座標近傍（座標写像 x の定義域）U上でも意味を持ちます。掛け算する写像 $(\frac{\partial}{\partial x}\cdot)$ は、次のようなベクトルバンドルの写像を定義します。

Rⁿ_U→TM|_U over U

ここで、Rⁿ_U はファイバーがRⁿ（要素は縦一列の行列だと思う）であるU上の自明ベクトルバンドル、TM|_UはMの接ベクトルバンドルのUへの制限です。底空間U上で考えているので over U と書いてます。

この写像はファイバーごとに可逆、全体としても可逆なので、逆写像を持ちます。それを $(\frac{\partial x}{\partial}\cdot)$ と書くと約束します。

$(\frac{\partial x}{\partial}\cdot)$ : TM|_U→Rⁿ_U over U

バンドル写像 $(\frac{\partial x}{\partial}\cdot)$ は、セクション空間の写像を誘導するので、同じ記号で表します（オーバーロード）。

$(\frac{\partial x}{\partial}\cdot)$ : Γ(TM|_U)→Γ(Rⁿ_U) over U

これだけのことです。

まだ一日しか使ってませんが、 $\frac{\partial x}{\partial}$ って、メチャクチャ便利なんじゃないのかな。例えば、xからyへの局所座標の取り替えに伴う接ベクトル場Vの成分表示の変換公式は次のように書けます。（[追記]等式を修正して別な形を「あるいは」の後に追加。[/追記]）

$\:\:\: \frac{\partial y}{\partial}\cdot V = (\partial t)_x \cdot (\frac{\partial x}{\partial}\cdot V) \\ \mbox{where} \\ \:\:\: t = y\circ x^{-1}$

あるいは、

$\:\:\: \frac{\partial y}{\partial}\cdot V = \frac{\partial y}{\partial x} \cdot (\frac{\partial x}{\partial}\cdot V)$

これ、すごく自然で簡潔です。ええんちゃう（似非関西弁）。

あらためてシミジミと感じたことは：

演算子記号を無闇と省略するのは良くない*1。非常に良くない。
演算子記号を省略すると、次のような演算が区別できなくなる。
1. 微分作用素としての作用
2. 様々な掛け算〈乗法〉
3. 写像に関する適用と結合〈合成〉

因習に囚われずに、適度な演算子記号／関数記号をちゃんと入れれば、分かりやすさはだいぶ改善されます。

[追記 date="翌日"]
だいぶ分かった。ちょっと考えて、 $\frac{\partial x}{\partial } = dx$ かと思ったのですが、そうではないですね。 $\frac{\partial x}{\partial}$ は、 $dx$ とも $\frac{\partial}{\partial x}$ とも違うナニモノカです。

「 $\frac{\partial}{\partial x}$ は微分作用素、 $dx$ は微分形式」ということをすっかり忘れて、純粋に線形代数の文脈で考えると、

$(\frac{\partial}{\partial x})^{-1} = dx^\ast$

が成立します。ここで、右肩マナナスイチは逆線形写像、右肩アスタリスクは双対線形写像です。この等式の解釈には微妙なところ（コベクトルとフォームを同一視するか区別するか）がありますが、肝心なのは、線形代数だけで考えることです。

記号の約束として、

$\frac{\partial x}{\partial} := (\frac{\partial}{\partial x})^{-1}$

ユークリッド空間では、線形写像としての $\partial$ が意味を持つので、

$\frac{1}{\partial} := \partial^{-1}$

部分可逆な t:Rⁿ⊇→Rⁿ に関して次の等式も成立します。あくまで、線形代数のなかでの等式です。

$\frac{\partial t}{\partial} = \partial t \cdot \frac{1}{\partial} = \partial t \cdot \partial^{-1}$

ここで、 $\partial t$ はtのヤコビ行列で、ナカグロ〈センタードット〉は、反図式順で書いた“線形写像（または行列）の結合（または掛け算）記号”です。

さらにシミジミと感じたことは：

微積分の議論と線形代数的な議論をゴチャゴチャにしないで、必要なら分離して議論する。

[/追記]

*1:[追記]「関手と自然変換の計算に出てくる演算子記号とか // 酷い話」で、関手の縦結合も横結合も演算子記号を省略して並置で書く、という例を紹介しました。当然に、解釈も計算もできなくなります。「二項演算を並置で書く」が許されるのは演算ひとつまでです！一緒に使う二つ以上の演算に対して「並置で書く」ルールを適用するのは極悪ですが、実際に存在するのが腹立たしい。[/追記]