代数的平行移動

最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、

コジュール接続 = ベクトルバンドル＋共変微分＝ベクトルバンドル＋平行移動

となります。

この話題については以前述べたことがあります。

多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動

上記の記事では、平行移動から共変微分を作り出すために、局所的・無限小的な議論をしています。そのため、ゴチャゴチャした印象があります*1。

ここでは、いったん局所的・無限小的なことは忘れて、平行移動の代数的、あるいは圏論的な構造だけに注目してみます。代数的に定義した平行移動は、それだけでは共変微分に結び付きませんが、スッキリはしています。

内容：

ベクトルバンドルのアイソ圏
区分なめらかな終端付きパスの圏
圏論からのいくつかの概念
代数的平行移動

ベクトルバンドルのアイソ圏

これから出てくるベクトル空間はすべてR上のベクトル空間なので、いちいち「R上の」は言いません。また、幾何的な対象物はすべてなめらかなので「なめらかな」も原則的に言いません（例外あり）。

多様体Mとその上のベクトルバンドルEを選んで固定します。点 p∈M に対してファイバーE_pは有限次元ベクトル空間なので、E_p∈|FdVect| です。FdVectは有限次元ベクトル空間の圏です。

ベクトルバンドルEのファイバー達を全部パランパランに切り離して、それらのファイバー・ベクトル空間のあいだの線形同型写像の集まりを考えると、それは圏になります。この圏の作り方の詳しいことは次に書いてあります。

多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動 // ベクトルバンドルのIso圏

Eのファイバー・ベクトル空間と線形同型写像からなる圏は、Eのアイソ圏〈Iso圏 | Iso category〉と呼ぶことにします。ファイバー達は分離され〈isolated〉、射は同型射〈isomorphism〉だからアイソな圏です。

上記の過去記事では、ベクトルバンドルEのアイソ圏をIso(E)と書きましたが、ここでは IsoCat_E とします。次の性質が重要です。

|IsoCat_E| = |E| = M = (Eの底空間)
IsoCat_E(p, q) = IsoFdVect(E_p, E_q) = (線形同型写像の集合)

この圏では、対象＝点のあいだの位相的・幾何的関係性は完全に失われています。

区分なめらかな終端付きパスの圏

「曲線」「経路」「パス」は区別しないで同義語として扱います。いずれも、実数区間から多様体への写像の意味です。注意すべきは、実数区間の形です。開区間と閉区間では事情が変わってきます。開区間からの曲線と閉区間からの曲線を区別する言葉がないですね。開曲線／閉曲線はまったく別な意味だし。ここでは、閉区間からの曲線／経路／パスを、終端付き曲線／経路／パス〈ended {curve | path}〉と呼ぶことにします。閉区間からの写像なら、端点〈end point〉があるので。

連続写像としての終端付きパス [0, r]→M が、閉区間 [0, r] の有限個の点を除いてなめらかなとき、区分なめらか〈piecewise smooth〉といいます。多様体M上の、区分なめらかな終端付きパスの全体を PSEPath_M と書きましょう。

(γ:[0, r]→M)∈PSEPath_M のとき、次のように定義します。

src(γ) := γ(0) ∈M
trg(γ) := γ(r) ∈M
param(γ) := [0, r] ∈CRightInterv(R)

paramはパラメータ区間のつもりです。CRightInterv(R) は、[0, r]の形をした実数の閉区間〈closed interval〉全体の集合です。

γ:[0, r]→M, δ:[0, s]→M が2つの区分なめらかな終端付きパスとして、γ[r] = δ[0] ならば、γとδを繋いだパス [0, r + s]→M を作れます。繋いだパスを γ;δ と書きます。

一点 p∈M での自明なパス triv_p は、[0, 0]→M で値がpであるものとして定義します。γ:[0, r]→M, γ(0) = p, γ(1) = q のとき、triv_p;γ = γ;triv_q = γ です。

既にお分かりと思いますが、(M, PSEPath_M, src, trg, triv, ;) は圏をなします。記号の乱用で、この圏のことも PSEPath_M と書きます。

PSEPath_M = (M, PSEPath_M, src, trg, triv, ;)

圏のホムセットは：

PSEPath_M(p, q) := {γ∈PSEPath_M | γ(0) = p かつ γ(1) = q}

実数の右閉区間（CRightInterv(R) の要素）の連接 # を次のように定義すると、[0, 0] を単位とするモノイドになります。

[0, r]#[0, s] = [0, r + s]

もちろん、モノイドとして (CRightInterv(R), #, [0, 0]) $\cong$ (R_≧0, +, 0) です。モノイドは圏とみなせるので、param:PSEPath_M→CRightInterv(R) は関手になります。

圏論からのいくつかの概念

圏C上の自己反変関手 J:C^op→C が次をを満たすとき、Jを厳密対合関手〈strict involutive functor〉、または単に厳密対合〈strict involution〉と呼びます。

Jは、対象の上では恒等〈identity-on-objects〉である。i.e. For A∈|C|, J(A) = A
'*' を関手の結合記号（図式順）だとして、 J*J = Id_C 。i.e. For f in C, J(J(f)) = f

Cがすべての射が可逆である圏のとき、J(f) := f^-1 とすると、Jは厳密対合になります。ベクトルバンドルのアイソ圏はすべての射が可逆なので、この方法で厳密対合を持つ圏になります。

(C, J), (D, J') が厳密対合を備えた2つの圏として、関手 F:C^op→D^op が J*F = F*J' を満たすなら対合を保存する〈preserve involution〉といいます。なお、C^op→D^op の関手とは、C→D の関手と思っても同じです。

2つの圏 C, D が対象類を共有している（|C| = |D|）とき、関手 F:C→D の対象パートが恒等写像ならば、Fは対象上で恒等〈identity-on-objects〉だといいます。厳密対合Jは対象上で恒等な（反変）関手です。

ベクトルバンドルの話に戻ります。ベクトルバンドルEが与えられると、そのアイソ圏 IsoCat_E と、底空間上の区分なめらかな終端付きパスの圏 PSEPath_|E| という2つの圏を作ることができます。2つの圏 IsoCat_E と PSEPath_|E| の対象集合は、どちらも |E| = M です。

前節で述べたことから IsoCat_E は厳密対合（射を逆にする）を持ちます。実は、PSEPath_|E| も厳密対合を持ちます。パス γ:[0, r]→M に対して、パラメータ付けを逆転します。

γ^←(t) := γ(r - t)

γ $\mapsto$ γ^← は、圏 PSEPath_|E| 上の厳密対合になります。

以上で、対象集合を共有する2つの”厳密対合付き圏”が出来上がりました。これで、代数的平行移動を定義できます。ベクトルバンドルE上の代数的平行移動〈algebraic parallel {transport | translation}〉とは、厳密対合付き圏 PSEPath_|E| から厳密対合付き圏 IsoCat_E への、対合を保存する対象集合上で恒等な関手です。

この定義から、平行移動 Πとは、PSEPath_|E|→IsoCat_E という関手です。が、対象集合 |E| = M 上では恒等なので話は簡単です。射に対する対応だけを考えることにします。関手 Π のホムセットへの制限を Π_p,q:PSEPath_|E|(p, q)→IsoCat_E(p, q) と書くことにして：