共変微分と平行移動の同値性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。

「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいなー、と思っているのです。「共変微分と平行移動の同値性」は、次の過去記事である程度は取り上げました。

多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動

しかし、この過去記事の内容は、一部分だけ切り出して述べているだけで、全体的な構造は明らかではありません。（一部分だけの）定式化も未整理な印象があります。「共変微分と平行移動の同値性」を全体的・包括的に、かつスッキリと記述したいのです。

「共変微分と平行移動の同値性」を明らかにするには、次の3つの質問に答える必要があります。

共変微分とは何か？
平行移動とは何か？
同値とは何か？

共変微分はベクトルバンドルに載る作用素なので、ベクトルバンドルEと作用素∇を組にして (E, ∇) をコジュール接続と呼びました（「コジュール接続の圏」）。単一のコジュール接続だけではなくて、コジュール接続の圏 KoszConnection も定義しました（詳細は書いてないが）。これは、「共変微分とは何か？」に答えたとみなしていいでしょう（もっとちゃんと書けばね）。

同様に、「平行移動とは何か？」に答えるには、ベクトルバンドルEとなんらかの仕掛けΠを組にした (E, Π) を対象とする圏 ParTransport を明確に定義すればいいでしょう。

「同値とは何か」と言えば、圏 KoszConnection と圏 ParTransport が圏同値であることです。実際には、圏同値より強く圏同型がいえそうです。つまり、下の、圏と関手の図式が可換になります。

$\require{AMScd} \begin{CD} {\bf ParTransport} @>{F}>> {\bf KoszConnection} \\ @| @| \\ {\bf ParTransport} @<{G}<< {\bf KoszConnection} \end{CD}$

そうなると、やるべきことは次のようになります。

圏 ParTransport を構成する。
関手 F:ParTransport→KoszConnection を構成する。
関手 G:KoszConnection→ParTransport を構成する。
上記の可換図式が成立することを証明する。

これで、共変微分＝コジュール接続の世界と、平行移動の世界を自由に行ったり来たりできるようになります。この往来の応用例がないとつまらないですね。例えば曲率概念を、コジュール接続の世界と平行移動の世界でそれぞれ定義して、相互関係を見るとかは面白そうです*1。

圏 ParTransport の構成の第一歩として、ベクトルバンドルE上の代数的平行移動を定義してみました。これでは不十分で、なんらかの方法で局所的・無限小的構造を与える必要があります。

局所的・無限小的構造に、バンドルの自明化が絡むとは思うのですが、とってつけたような定義は気分も悪いし理解もしにくいでしょう。「そりゃーそうなるよね」的な自然な定式化はないのかなー、と、ゆるく思案中。

[追記]ここから下は追記。[/追記]

ニュートン／ライプニッツの定理〈微積分の基本定理〉は次の形をしています。

${\displaystyle \int_{a}^{b}}f(x) dx = F(b) - F(a)$

共変微分においてこれに相当する等式はどんなものでしょう。おそらく、

$\overline{\displaystyle \int_{e}}_{\,\gamma} (1 + A\, dt) = \Pi(\gamma) \: : E_p \to E_q$

こんなんでしょうね。

出てきている記号を説明すると：

γ : Mの点pから点qに至るパス
E_p, E_q ：ベクトルバンドルEのファイバー
Π ：代数的平行移動の意味での平行移動関手
Π(γ) ：ファイバーのあいだの線形同型写像
e, A ： Πに対応する共変微分∇の、フレームeによる接続係数がA（「騙されるな、接続係数（クリストッフェル記号）の仕掛け」参照）
$\overline{\int_{e}}$ ：フレーム〈局所自明化〉eを使った乗法的積分〈product integral | 積積分〉

通常のニュートン／ライプニッツの定理における積分は「無限の足し算」ですが、共変微分版の積分は「無限の掛け算」です。パスγの両端のあいだのマクロな線形同型写像が、微小量である接続係数の積み重ねで表現できる、という内容です。積み重ねるときに「無限の掛け算」を使います。

ニュートン／ライプニッツの定理を、足し算版と掛け算版に分けて考えたほうがよさそうです。

足し算版ニュートン／ライプニッツの定理：無限小の差を全部（無限に）足し合わせたら、有限の加法的量が得られる。
掛け算版ニュートン／ライプニッツの定理：無限小の比率を全部（無限に）掛け合わせたら、有限の乗法的量が得られる。

足し算と掛け算は指数・対数で行き来できます。

*1:具体的には、アンブローズ／シンガー定理〈The Ambrose–Singer theorem〉の解釈とか。