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参照用 記事

共変微分と平行移動の同値性

ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。 コジュール接続の圏 代数的平行移動 騙されるな、接続係数(クリストッフェル記号)の仕掛け 「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいな…

騙されるな、接続係数(クリストッフェル記号)の仕掛け

「コジュール接続の圏」で、共変微分の話をしました。そこで次のようなことを書きました。 選んだひとつの共変微分に対する、他の共変微分の“差分”(End1Form(E)Ab の要素)がいわゆる“接続係数”を定めます。ただし、共変微分の空間 CovDer(E) には、特別な…

代数的平行移動

最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、 コジュール接続 = ベクトルバンドル+共変微分 = ベクトルバン…

双線形写像のカリー化

カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。内容: 設定と約束 カリー化 共変微分 設定と約束RとFは可換環で、R⊆F (RはFの部分可換環)だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次…

コジュール接続の圏

先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。思い出すときのヒントは書きますが、詳しい話ではありません。あやふやなところ…

バンドルと層の記法 速記用

「バンドルと層の記法 まとめ」は、手書きで書くことを意識しています。が、それでも手書きだと書きにくい記法もあるので、もっと手早く書けるようにします。頻繁に使う3つの関手*1はギリシャ文字大文字で書くことにします。Φ, Ω, Ξ です。「ξ(グザイ)のい…

サイトと層の大きさやら作り方やら

3日前に書いた記事「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で「ビッグサイト」という言葉を使ったのですが、この言葉の典拠はnLab項目です。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLabには、他にラージサイト、スモールサイト、リトルサイトの項…

バンドルと層の記法 まとめ

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。[追記 date="2021-06-26"]実情に合わせて修正しました。[/追記]内容: 圏 関手 バンドルとバンドル射 バンドルの演算 バンドルの移動 セクション セクション空間と層 層の演算 層の移動 圏 Man -- …

融通無碍か曖昧模糊か

この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて」にあります。ただし、ベクトルバンドルFのxによる引き戻しは x#F にします。気付いた、というか、あらためて「そうなんだな」と思ったこと; 次の4種類のモノが区別されない…

ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字

「ビッグサイト」と言えば東京ビッグサイト。*1ではなくて、次のnLab項目を参照してください。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLab項目は一般的な設定で説明していますが、特定状況下で具体的なビッグサイトを利用する話をします。利用目的は微分…

偏微分記号の逆数形式: 瓢箪から駒

昨日、行きがかり上 という記号を導入しました。偏微分の記号 の分母と分子をひっくり返したものです。誰かこの記号を見たことありますか? (見たことある方は教えてくださいませ。) は の“逆”なのですが、偏微分作用素としての逆ではありません。線形代数…

なんだこれ? 奇妙な微分公式

取り急ぎのメモ。この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて」、「微分幾何におけるヤコビ行列の書き方: 因習の擁護」あたりに書いてあります。すべては「なめらかな世界」で考えます。NとMは多様体で f:N→M は写像とし…

一点での接ベクトルをハッキリさせよう: 三種類の定義

多様体の一点での接ベクトルを定義する方法が幾つかあります。微分作用素としての定義は以前述べました。その他の方法二種類も記しておきます。内容: 三種類の接ベクトルの定義 座標依存方式 曲線方式 相互関係 三種類の接ベクトルの定義この記事に出てくる…

モノイド閉圏: カリー化からニョロニョロまで

昨日の記事「ラムダ計算の自然性とお絵描き」で、ラムダ計算を行える〈do lambda calculus〉環境としてのモノイド閉圏を紹介しました。モノイド閉圏はカリー化を持ちます。カリー化に関わる素材と法則があれば、そこから指数随伴系〈テンソル・ホム随伴系〉…

ラムダ計算の自然性とお絵描き

タイトルの「自然性」は、国語辞書的な意味ではなくて、圏論の意味での自然性です。何が自然なのかというと、ラムダ計算の中核であるカリー化が自然だということです。なので、正確に言えば: ラムダ計算の中核であるカリー化は、圏論的な意味で自然である。…