※この記事は、MathJax / XyJax 使いまくりで長いので、（クライアント側に負担がかかる）重いページです。この機会に書いておこうと色々詰め込んであり、ハナシが前後している箇所（良く言えばトップダウン的記述）もあります。記述の順番を整理する気力はな…
が、（なめらかな）多様体のあいだの（なめらかな）写像のとき、その“微分”を と書きます。この書き方についは、「多様体上のとある公式： 計算練習」で次のように言いました。 上下のアスタリスクを使う書き方は僕は嫌いですが（微分らしく見えないし、色々…
オンライン上の某所にて「次の等式がよくわからん」と：解釈を試みてみます。この等式は結局、次の図式の可換性として表現されます。内容： 記号の約束（状況設定） 書き方の約束 微分の定義 テンソル積加群とホム加群 図式のセットアップ 3つの補題 逆関数…
昨日の記事「マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ」で次のような表を挙げました。 対象が番号／番号リスト 対象が集合／集合リスト 簡約多圏 L FinSet Poly(FinSet) Mat FXMat Poly(FXMat) = FXTens Tens FXTens = T - これらの圏について、ちょっと…
圏論では、さまざまな絵図／テキスト式が出てきます。絵図〈diagram | picture〉とテキスト式〈text expression〉とのあいだの相互翻訳や、絵図／テキスト式を使った計算は、機械的作業（アルゴリズムの実行）です。したがって、手順をマスターすれば、誰で…
「マリオス微分幾何とカルタン接続」の続きです。リー型群層〈group sheaf of Lie-type〉は、リー群が持つ構造の一部を代数的に取り出して層の世界で定式化したものです。モーレー／カルタン微分は、群に値を取る関数の対数微分を、やはり層の世界で公理化し…
2019年にマリオス〈Anastasios Mallios〉の抽象微分幾何（以下、マリオス微分幾何）について紹介したことがあります。 マリオスの抽象微分多様体 抽象微分多様体、もうチョット 抽象微分多様体、さらに：共変微分のアフィン構造 その後もたまにマリオス達の…
多様体上で何かを計算するときに、開被覆族に載った層係数のコチェーン〈チェック・コチェーン〉が出てきます。これは記法として便利です。便利なので、条件をゆるめてもっと広く使ってもいい気がします。 開集合の族が被覆になってなくてもいいとする。 係…
1年3ヶ月ほど前に書いた「コジュール接続の圏」に次のように書いています。 先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。 こ…
「ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量だ」と言われます。これはいったいどういう意味なんでしょう？ 「ホモトピー」が色々な意味で使われ過ぎていて何だかヨクワカリマセン。事情をハッキリさせましょう。※ 言葉と表記に関する注意： 英単語の語尾…
去年の春に書いた次の記事で、 接バンドルのホロノーム座標 ホロノーム座標 補遺：バンドル座標 数理物理学者サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉が使っている座標記法を紹介しました。サルダナシヴィリのオリジナルの記法では3種類の座標があり、そ…
基礎圏〈台圏〉を指定しないすべてのモナド達の圏をMnd、すべての随伴系〈adjunction | adjoint system〉達の圏をAdjと書くことは多いですが、MndやAdjが何を意味するかは人によりバラバラです。バラバラなのはしょうがないのですが、様々な定義を記述したり…
次元の概念は思いのほか難しくて、あまり理解されてないのかも知れませんね。特に0次元が鬼門のようです。離散キューブという概念を導入する過程のなかで0次元の話をします。(-1)次元は、空集合に対する次元の候補です（空集合の次元は幾つかの考え方があり…
モナド達が作る圏（実際は2-圏）の上に、とあるモナドが載っています。ストリート・モナド〈Street monad〉っていうモナドです。ストリート・モナドは我々が普段扱っているモナド達より上のレベルに居るモナドの典型例ですね。ストリート随伴系〈Street adju…
随伴系〈adjunction | adjoint system〉があるとモナドを作れます。逆に、モナドを随伴系に分解〈resolution〉して調べたいことがあります。となると、ある特定のモナドに対して、随伴系への分解はどのくらいあるのだろう？ と知りたくなるのが人情です。モ…
