雑記／備忘
二重圏の拡張である仮想二重圏〈virtual double category〉、添加仮想二重圏〈augmented virtual double category〉に興味がわいて、次の2つの論文をポチポチと拾い読みしています。 [Kou19-22] Title: Augmented virtual double categories Author: Seerp R…
「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」への補遺です。内容： ペースティング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン…
レナート・ベッチ／ロバート・ウォルターズ〈Renato Betti, Robert F.C. Walters〉のとある論文を眺めていて、カン拡張／カン持ち上げの記述で戸惑ってしまいました。右カン持ち上げだと記されていたペースティング図が間違っていて左カン持ち上げになってい…
以下の2つの記事で、二重圏の縦横、上下左右の問題を述べました。 二重圏、縦横をもう一度 二重圏の縦横 補遺 二重圏のタイト射 $`f`$ に対して、その分身であるようなプロ射が対応することがあります。それを、$`f`$ の同伴〈コンパニオン | companion〉と…
プロ関手の説明として、「関手 ： プロ関手 ＝ 関数 ： 関係」という“比例式”がしばしば引き合いに出されます。一方で、「圏 ： 関手 ＝ 順序集合 ： 単調関数」という“比例式”もあります。これらの比例式達を合わせると： 圏 ： 関手 ： プロ関手 ＝ 順序集…
「二重圏、縦横をもう一度」において言い忘れたことがあります。ペースティング図／ストリング図の射の並びや結合をテキストに書き出すときの順番のことです。これも人により場合によりバラバラです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In…
ここ2,3年「二重圏がきてる」印象があります。応用圏論を牽引している一人であるイバン・パターソン〈Evan Patterson〉は今年の1月、トポス・インスティチュートのブログ記事に次のように書いています。 Lately I’ve been fixated on double categories, pur…
「集合・関数係数行列の2-圏、モナドも添えて」において、「アスタリスクで総和をとり、ハイフンでラムダ抽象〈関数抽象〉をする」記法を導入しました。これ、なかなかに使いやすいですね。この記法を他の場面でも使いたくなりました。「複余有向コンテナ〈…
過去ニ回の記事で、集合係数のベクトル・行列について述べました。 スパンとファイバー積と行列計算 集合係数のスカラー・ベクトル・行列・テンソル 二番目の記事では、集合係数の行列の一般化として集合係数のテンソルを定義しました。この記事では、別な方…
「スパンとファイバー積と行列計算」で、スパンは集合係数の行列であり、スパンの結合〈composition〉が行列の掛け算として計算できることを紹介しました。線形代数でよく知られた計算は、集合係数でもだいたい実行できます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathr…
集合圏内のスパンに対して、標準的なファイバー積を使ってスパンの結合〈composition | 合成〉を定義できます。その結合は、行列の掛け算で表示・計算できます。$`\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{\times}\,\!_{#3} } } \newcommand…
多項式関手圏とは、多項式関手を対象として、そのあいだの自然変換を射とする圏です。関手圏 $`[{\bf Set}, {\bf Set}]`$ の部分圏になります。多項式関手圏のホムセットを具体的に表示する公式がΠΣ公式とΣΠ公式です。この記事ではΠΣ公式について述べます。…
14年近く前の記事「インデックス付き圏のインデックス付き圏」において、インデックス付き圏達が形成する圏が再びインデックス付き圏の構造を持つことを書いています。しかし、インデックス付き圏達のインデックス付き圏へのインデックス付き圏をハッキリと…
この記事内では圏論の概念・用語は使ってませんが、背景は圏論的です。-- 関数は関係の特別なものとみなせます。単葉で全域的な関係が関数です。この特徴付けは、圏論的には「関数は、関係の2-圏の左随伴1-射」と言えるのでした（「左随伴関係は関数」参照）…
タイトルは、nLab項目 hom-functor preserves limits そのままです。nLab と同じ内容（の一部）をこの記事で説明します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\msc}[1]{ \mathscr{#1} } \newcommand{\dimU}[2]…
「左随伴関手は左カン拡張を保存する」で、左随伴関手が左カン拡張とうまく協調することを述べました。一般に、左随伴関手や右随伴関手は良い性質を持ちます。この記事では、お馴染みで簡単な2-圏である関係の2-圏 $`{\bf Rel}`$ において左随伴関手相当の1-…
ちょっとわけわからんタイトルです。もう少し正確に言うと、「関手の射パートは自然変換」です。$`\mathcal{C}, \mathcal{D}`$ を圏とします。双関手〈二項関手〉としてのホムセットを次の形に書きます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{…
モノイドを対象がひとつだけの圏とみなすと、両側モノイド作用（モノイドの双作用）はプロ関手だとみなせます。この種のプロ関手のコエンドは、一般の場合より簡単に構成できて、より具体的な表示を持ちます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcom…
昨日の記事の最後の節「圏論的な普遍構成の代表的な例 // モノイドの台集合」で、モノイドにその台集合を対応させる忘却関手〈余前層〉の余表現対象が自然数の足し算モノイドであることを述べました。それと同様な議論で、代数〈相対環〉にその台集合を対応…
圏論的な普遍構成は色々な場面で使われますが、代表的・典型的な例を幾つか挙げます。普遍構成と普遍性に関する復習もあります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[…
「左加群は前層、右加群は余前層、双加群はプロ関手」で述べた事を敷衍して、左状態遷移系は前層、右状態遷移系は余前層、双状態遷移系はプロ関手であることを述べます。前層・余前層・プロ関手を、状態遷移系としても解釈できることになります。$`\newcomma…
昨日の記事「カリー vs. カン、双対 vs. 随伴」を使った事例として、表題の定理を示してみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } %\newcommand{\id…
去年（2023年）の年末に「カン拡張の左右： 混乱する原因がわかった！」という記事を書きました。ラムダ計算とカン拡張／カン持ち上げには類似性があるのですが、名前の対応がゆがんでいるため毎度混乱してしまう、という話でした。この記事では、なぜラムダ…
今年〈2023年〉の夏くらいから、絵図的手法のフレームワークとして、スケマティック系というものを考え始めました。スケマティック系に関連する記事は「スケマティック系のハブ記事」からたどれます。スケマティック系の素材として、半グラフやバエズ／ドー…
カン拡張の左右について何度も書いています。 カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと ガーッ! また左と右が。カン拡張 カン拡張の左右の憶え方をもうひとつ それでもカン拡張の左右を忘れてしまう 右カン拡張の eval は run これだけ左右を話…
2012年に「デジタルなモノイド」という記事を書きました。モノイド $`M`$ に「原子的な要素」という概念があり、$`M`$ が原子的な要素で生成されているとき、$`M`$ はデジタルっぽいよね、という話です。「原子的なもので生成されている」ということを、モノ…
「亜群をベースとする圏類似構造： コステロの事例」において次のように書きました。 ケビン・コステロが定義した“グラフの圏”は、実際には圏になってません。しかし、ほとんど圏と同様に扱えますし、役に立ちます。 「コステロの半グラフ圏から二重関手意味…
ここしばらく、半グラフを調べていたのですが、半グラフだけを考えていてもダメそうだ、と思いました。半グラフが描かれているキャンバスも一緒に考えないと辻褄が合わないようなのです。半グラフを調べていた動機は、ワイヤリング図の下部構造になりそうだ…
「半グラフの二重圏と半グラフ変形」において、半グラフ変形をアルゴリズム的に捉えるために、基本変形を指令〈instruction〉と呼び、指令ニモニック（指令を表す記号）を組み合わせたある種のプログラムコードとして指令半グラフを導入しました。指令や指令…
「半グラフに関わる諸概念 // 半グラフの接合」において、マッチャー（「半グラフに関わる諸概念 // マッチャー」参照）を使った半グラフの接合の定義を与えました。もっとカッコイイ定義を思いつきました。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand…
