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参照用 記事

雑記/備忘

オンラインMarkdownエディタ&ビューワー

Wiki構文は、一時期は群雄割拠というか、方言が溢れていました。しかし今では、Markdownが標準の地位を獲得したようです*1。Markdownの拡張や方言はありますが、中核の構文は安定しています。僕も、Markdown構文で書くことは多いです。※ 追記があります。 オ…

カルタン微分計算系はいいぞ

昨日と一昨日話題にしたカルタン微分計算系〈Cartan calculus〉ですが、これはとても良いですね。知名度と人気はあまりないらしく、まとまった資料もないのですが、多様体上の微分計算を整理する枠組みとしてすごく便利です。3つのオペレータ d, L, i に関す…

カルタン微分計算系(とりあえず)

「微分インフラとはカルタン微分計算系」の続きです。カルタン微分計算系が満たすべき等式は、https://planetmath.org/cartancalculus に従うとして、それらの等式を載せる土台がまだハッキリしません。どの程度抽象的にすべきか? どのような下部構造を要求…

微分インフラとはカルタン微分計算系

「シュバレー/アイレンベルク関手の話 // 微分インフラとシュバレー/アイレンベルク関手」に次のように書きました。 多様体上で微分計算をするときに必要な演算〈操作〉には何があるでしょうか。並べてみます。 関数の偏微分 ベクトル場のリー微分 微分形…

黒魔術っぷりに驚いた! 古典テンソル計算での置換と対称化/反対称化

10年前に、ツビタノビッチ〈Predrag Cvitanovic〉のバードトラックを話題にしたことがあります。 バードトラック -- 群論的なファインマン図 ツビタノビッチ本は、そのときにチラリと眺めただけで、その後見返すことはありませんでした。が、たまたまバード…

等式的関手インスティチューションの作り方: 悩みどころ

一連の話題を小ネタに切り刻んで投稿しています。ココに書いたような事情です。「等式的関手インスティチューション(概要)」で述べたように、等式的関手インスティチューションでは、指標Σに対するモデル圏*1 Model[Σ] を、関手圏*2として具体的に構成する…

データをURLに保存する: GraphvizOnlineの方法

ちょっとだけGraphVizで絵(有向グラフ)を描きたいと思ったのですが、オンライン上のサービスを探してみたら、ありました。 https://dreampuf.github.io/GraphvizOnline/ 上記のURLにアクセスると、サンプルのグラフが表示され(上の画面ショット)、ブラウ…

等式的関手インスティチューション(概要)

昨日の記事「任意の圏を等式により2-圏とみなす」の冒頭で、「圏を2-圏とみなす」動機を書いたのですが、それは、ゴグエン/バーストル〈Joseph Goguen and Rod Burstall〉のインスティチューション〈institution〉を少し具体的に考えたい、ってことでした。…

任意の圏を等式により2-圏とみなす

話したいことはタイトルのとおりの小ネタなんですが、簡単に動機を説明しておきます。ゴグエン/バーストル〈Joseph Goguen and Rod Burstall〉のインスティチューション〈institution〉は、論理やプログラムの構文論と意味論〈モデル論〉の抽象的枠組みを提…

ガロア接続(順序随伴系)の簡単な例

外出しない生活だと、時間も空間もメリハリがなくなって、曜日の感覚も希薄になります。今まで、日曜にブログ記事を投稿することはほとんどなかったけど、今はウィークデーとの差がない。で、日曜の記事です。順序集合をやせた圏とみなした場合の圏論的随伴…

ベクトル場の流れ完備化〈flow completion〉

昨日の記事「流れとベクトル場」への追記です。今日の日付で別記事にします。今日も僕は元気、ということです。多様体M上の(大域的な)ベクトル場 X∈ΓM(TM) に対して、Xを速度ベクトル場とするような長期的な流れ φ:M×R→M の存在は一般的には保証されません…

流れとベクトル場

檜山の生存確認/安否情報用の小ネタを書きます(5日間あいだが空きましたが、僕は元気です)。多様体上の流れ〈flow | フロー〉については、「流れとリー微分 // 大域的な曲線(運動)と流れ」とその直後の節「局所的な流れ」で説明しています。この2つの節…

オーバーロード解決のために、振り仮名風アノテーション

ここ数年、オーバーロード(言葉・記号の多義的使用)の問題にひどく悩まされています。僕ひとりの問題というよりは、コミュニケーションの障害となるので困っているのです。言葉・記号をオーバーロードしてしまうと、オーバーロード解決(曖昧性をなくして…

さまざまな関手/オペレータと微分の表示

「多様体の圏上の計算デバイス: 具体的な計算」の最後で: 因習的な計算手順とは違い、天下りに手順を与えるのではなくて、...[snip]... むしろ、幾何的実体から具体的な計算へと至るプロセスが主たる関心事になります。 多様体のあいだの写像 f:M→N in Man…

多様体の圏上の計算デバイス: 具体的な計算

「多様体の圏上の計算デバイス: 表示オペレータ」で述べたような事、オペレータ〈コンビネータ〉を使って具体的な計算に持ち込むことは必要だな、と思います。手計算では、直感に頼ったショートカットが可能ですが、コンピュータによる数値計算や数式処理で…

多様体の圏上の計算デバイス: 表示オペレータ

細切れの記事を書いてますが、事情は「ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // はじめに」に書いたのと同様です。思いつきでちょっと書いては投稿、をしてます。この記事では、多様体に関して、幾何的実体と計算手段の関係を考えてみ…

接バンドルのホロノーム座標

サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉という数理物理学者の教科書を眺めたら、いきなりド頭でホロノーム座標〈the holonomic coordinates〉というものが出てきて、よく分かりませんでした。しばらく考えたら“どんなものか”分かったので書いておきます…

インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」という記事以来、ビッグサイト/ビッグ層について考えているのですが、よく分かりません。リトルサイト/リトル層はよく使われているし、ハッキリとした対象物です。試しに、ビッグ層とリトル層の中間的存在…

バンドルと層の記法 追加

「バンドルと層の記法 まとめ」に対する追加記事です。用語と記法を少し追加修正し、整理します。内容: サイトとその上の層 関数、関手、自然変換の適用記法 前層におけるバッククォート記法 セクション層関手 この記事で参照した過去記事 追記:ℓΓ記法 サ…

多様体類似物とチャータブル圏 2:多様体構成の概要

昨日の記事の最初の節「多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含 // チャータブル圏の概要」において、「チャータブル圏の対象は多様体類似物と考えることができます」と書いたのですが、これは正確な言い方ではありませんでした。修正して、さらに補足説明…

多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含

多様体ではないが、多様体と似たような扱いができるモノがあります。そのようなモノを、漠然と多様体類似物〈manifold-like object〉と呼ぶことにします。漠然とした概念“多様体類似物”に(ある程度は)ちゃんとした定義を与えよう、という話をします。「多…

ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性

4月7日の記事「ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合」の最後で: このテの話をしているのは、ベクトル空間Vのフレーム集合 Frame(V) と、双対空間V*のフレーム集合 Frame(V*) の関係をハッキリさせるためです。これら2つのフレーム…

ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合

昨日の記事の最後で: 密度に対する重要な単項演算として、密度pの双対 p p* があります。p*が定義される主等質集合は、もとの主等質集合とは反変的な関係にある主等質集合になります。ここの話はけっこうややこしいので、次回に述べます。 この話をします。…

ベクトル空間上の複素密度 2/?

「ベクトル空間上の複素密度 1/2」の続きです。「ベクトル空間上の複素密度」を2回で書く予定だったので、最初の記事は 1/2 としました。が、2回で終わらないし、何回になるか分からないので今回は 2/? とします。2回に収まらない理由は、内容が幾分か膨らん…

カントールは間違っていた from viXra.org

おうちでヴィクスラ〈viXra.org〉を読もう こんな状況*1だと、なんか気分転換がしたくなります。「viXraを眺める」に書いたように、viXra(https://vixra.org/)論文には、癒しになるものがあります。論文を選ぶときの僕の規準は: 短いもの。長いと読む気に…

ベクトル空間上の複素密度 1/2

「線形代数と色々な行列式関手」に関連して、符号無しの密度や体積についても知りたかったので調べたら、https://ncatlab.org/nlab/show/determinant+line+bundle → https://ncatlab.org/nlab/show/density → https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf と…

線形代数と色々な行列式関手

行列式を圏論的に定義したい、要望としては、行列式を外積代数と関連付けて扱いたい -- と、考えてみたのですが、「これがベスト」という定義には至りませんでした。いくつかの定義を提示します。それぞれに一長一短があります。この記事で定義する行列式関…

余次元1の埋め込みの向き

多様体の向きに関しては、「多様体の向き:色々な定義」に書いた、外積代数バンドルを使う向きの定義がスッキリしている気がします。が、しかし: ところで、「0次元多様体は向き付け不可能なのでは」で触れた法直線バンドル/法ベクトル場を使った向きの定…

多様体の向き:色々な定義

次の2つの記事で「0次元多様体の向き」について書きました。 0次元多様体の向きの定義が納得できない 0次元多様体は向き付け不可能なのでは 「向き」の定義が二種類あって、0次元のところでその齟齬が目立ってしまう、という事情でした。これらの記事を書く…

0次元多様体は向き付け不可能なのでは

今日書いた記事「0次元多様体の向きの定義が納得できない」への補足です。同じ記事への追記・修正でもいいのですが、追記としては若干長め、大きな修正は原則しない方針なので別記事にします。まず、先の記事では、 主に心理的な理由で、境界を許すコンパク…