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参照用 記事

雑記/備忘

流れとベクトル場

檜山の生存確認/安否情報用の小ネタを書きます(5日間あいだが空きましたが、僕は元気です)。多様体上の流れ〈flow | フロー〉については、「流れとリー微分 // 大域的な曲線(運動)と流れ」とその直後の節「局所的な流れ」で説明しています。この2つの節…

オーバーロード解決のために、振り仮名風アノテーション

ここ数年、オーバーロード(言葉・記号の多義的使用)の問題にひどく悩まされています。僕ひとりの問題というよりは、コミュニケーションの障害となるので困っているのです。言葉・記号をオーバーロードしてしまうと、オーバーロード解決(曖昧性をなくして…

さまざまな関手/オペレータと微分の表示

「多様体の圏上の計算デバイス: 具体的な計算」の最後で: 因習的な計算手順とは違い、天下りに手順を与えるのではなくて、...[snip]... むしろ、幾何的実体から具体的な計算へと至るプロセスが主たる関心事になります。 多様体のあいだの写像 f:M→N in Man…

多様体の圏上の計算デバイス: 具体的な計算

「多様体の圏上の計算デバイス: 表示オペレータ」で述べたような事、オペレータ〈コンビネータ〉を使って具体的な計算に持ち込むことは必要だな、と思います。手計算では、直感に頼ったショートカットが可能ですが、コンピュータによる数値計算や数式処理で…

多様体の圏上の計算デバイス: 表示オペレータ

細切れの記事を書いてますが、事情は「ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // はじめに」に書いたのと同様です。思いつきでちょっと書いては投稿、をしてます。この記事では、多様体に関して、幾何的実体と計算手段の関係を考えてみ…

接バンドルのホロノーム座標

サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉という数理物理学者の教科書を眺めたら、いきなりド頭でホロノーム座標〈the holonomic coordinates〉というものが出てきて、よく分かりませんでした。しばらく考えたら“どんなものか”分かったので書いておきます…

インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」という記事以来、ビッグサイト/ビッグ層について考えているのですが、よく分かりません。リトルサイト/リトル層はよく使われているし、ハッキリとした対象物です。試しに、ビッグ層とリトル層の中間的存在…

バンドルと層の記法 追加

「バンドルと層の記法 まとめ」に対する追加記事です。用語と記法を少し追加修正し、整理します。内容: サイトとその上の層 関数、関手、自然変換の適用記法 前層におけるバッククォート記法 セクション層関手 この記事で参照した過去記事 追記:ℓΓ記法 サ…

多様体類似物とチャータブル圏 2:多様体構成の概要

昨日の記事の最初の節「多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含 // チャータブル圏の概要」において、「チャータブル圏の対象は多様体類似物と考えることができます」と書いたのですが、これは正確な言い方ではありませんでした。修正して、さらに補足説明…

多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含

多様体ではないが、多様体と似たような扱いができるモノがあります。そのようなモノを、漠然と多様体類似物〈manifold-like object〉と呼ぶことにします。漠然とした概念“多様体類似物”に(ある程度は)ちゃんとした定義を与えよう、という話をします。「多…

ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性

4月7日の記事「ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合」の最後で: このテの話をしているのは、ベクトル空間Vのフレーム集合 Frame(V) と、双対空間V*のフレーム集合 Frame(V*) の関係をハッキリさせるためです。これら2つのフレーム…

ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合

昨日の記事の最後で: 密度に対する重要な単項演算として、密度pの双対 p p* があります。p*が定義される主等質集合は、もとの主等質集合とは反変的な関係にある主等質集合になります。ここの話はけっこうややこしいので、次回に述べます。 この話をします。…

ベクトル空間上の複素密度 2/?

「ベクトル空間上の複素密度 1/2」の続きです。「ベクトル空間上の複素密度」を2回で書く予定だったので、最初の記事は 1/2 としました。が、2回で終わらないし、何回になるか分からないので今回は 2/? とします。2回に収まらない理由は、内容が幾分か膨らん…

カントールは間違っていた from viXra.org

おうちでヴィクスラ〈viXra.org〉を読もう こんな状況*1だと、なんか気分転換がしたくなります。「viXraを眺める」に書いたように、viXra(https://vixra.org/)論文には、癒しになるものがあります。論文を選ぶときの僕の規準は: 短いもの。長いと読む気に…

ベクトル空間上の複素密度 1/2

「線形代数と色々な行列式関手」に関連して、符号無しの密度や体積についても知りたかったので調べたら、https://ncatlab.org/nlab/show/determinant+line+bundle → https://ncatlab.org/nlab/show/density → https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf と…

線形代数と色々な行列式関手

行列式を圏論的に定義したい、要望としては、行列式を外積代数と関連付けて扱いたい -- と、考えてみたのですが、「これがベスト」という定義には至りませんでした。いくつかの定義を提示します。それぞれに一長一短があります。この記事で定義する行列式関…

余次元1の埋め込みの向き

多様体の向きに関しては、「多様体の向き:色々な定義」に書いた、外積代数バンドルを使う向きの定義がスッキリしている気がします。が、しかし: ところで、「0次元多様体は向き付け不可能なのでは」で触れた法直線バンドル/法ベクトル場を使った向きの定…

多様体の向き:色々な定義

次の2つの記事で「0次元多様体の向き」について書きました。 0次元多様体の向きの定義が納得できない 0次元多様体は向き付け不可能なのでは 「向き」の定義が二種類あって、0次元のところでその齟齬が目立ってしまう、という事情でした。これらの記事を書く…

0次元多様体は向き付け不可能なのでは

今日書いた記事「0次元多様体の向きの定義が納得できない」への補足です。同じ記事への追記・修正でもいいのですが、追記としては若干長め、大きな修正は原則しない方針なので別記事にします。まず、先の記事では、 主に心理的な理由で、境界を許すコンパク…

0次元多様体の向きの定義が納得できない

話を簡単にするために、多様体はコンパクトなものだけを考えます。0次元多様体は、(コンパクト性の仮定のもとで)有限個の点です。0次元多様体にも向き〈orientation〉を考えることができて、向き付き0次元多様体〈oriented 0-dimensional manifold〉とは符…

オペラッドと型付きラムダ計算

一昨日の記事「モノイド圏上のテンプレート・オペラッド:具体例とソフトウェア的解釈」でオペラッドの話をしたので、小円板オペラッド〈little disks operad〉における計算を型付きラムダ計算のフレームワークに乗せてみましょう。これによって、オペラッド…

モノイド圏上のテンプレート・オペラッド:具体例とソフトウェア的解釈

とあるソフトウェア的な動機から、圏論的な代数系を構成してみます。この代数系は、通常の圏〈ordinary category〉とは違い、横結合、縦結合、モノイド積の3つの演算を持ちます。通常の圏は結合だけしか持たないし、モノイド圏は結合とモノイド積しか持ちま…

DOTN三号とCatPict〈キャットピクト〉:方針

DOTNとは、Diagrammatic-Order Text Notation のアクロニムで、モノイド圏や2-圏の射を表現するための表記法です。DOTNをブログで最初に紹介したのは2006年です。 図式順テキスト記法(DOTN)(別なページへのリンク) 2013年にリバイスして、DOTN二号〈Vers…

カン拡張の左右の憶え方をもうひとつ

「ガーッ! また左と右が。カン拡張」では、左随伴関手と右随伴関手の左右と対応させて、左カン拡張と右カン拡張の左右を覚える方法を紹介しました。この方法の欠点は、左右を決定する道のりが長いことです。別な方法を紹介します。まず、次の対応を丸暗記し…

必然性なき選択と過剰な表示

書籍『〈現実〉とは何か』(筑摩選書)への谷村省吾先生による言及に触発されて、「根拠なき選択」という記事を書きました。そのなかで、何かを選ぶとき、選べるものが一個しかない(一択)なら、それは「根拠がある選択」だと言いました(脚注)。それしか…

コジュール接続の一般射は一般的だった

昨日の記事「コジュール接続の圏 その2」で: ちょっと思いついたこと(一般射という概念)があるんで、それのメモみたいなもんです。一般射〈generic morphism〉 一般的(過ぎるかも) 実際、コジュール接続のあいだの一般射という概念は一般的でした。用途…

コジュール接続の圏 その2

「コジュール接続の圏」の続きを書きます。と言っても、ちょっと思いついたこと(一般射という概念)があるんで、それのメモみたいなもんです。内容: はじめに オーバーロードと省略のルール イントラベースとインターベース コジュール接続のあいだの慣性…

伝統的テンソル計算における添字の上げ下げ

伝統的(むしろ因習的)テンソル計算では、「添字を上げる/下げる」というな言い回しが出てきます。例えば、 の添字 i を下げ、j を上げ、k はそのままにすると になります。伝統的〈因習的〉記法・語法に慣れてないと何のことだかわかりません。この「添字…

スタック図の逆襲

だいぶ昔ですが、2次元の圏に関する描画に、スタック図という描画法を使っていました。例えば、2006年に書いた次の文書でスタック図も描いています。 ストリング図による複合モナドの計算 (1) *1 ストリング図に比べて特にメリットがないので、スタック図を…

ストリング図とストライプ図

昨日の記事の最後の節(付録)「図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる // ストリング図とストライプ図」の続きです。内容: 自然変換ストリング図と関手ストリング図 ストリング図書き換え ストライプ図 自然変換ストリング図と関…