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参照用 記事

雑記/備忘

データベース:: テーブル間の参照

「データベース:: テーブル構造とデータベース構造」において: 関係データベースは、テーブルのあいだの参照(外部キー)メカニズムを持っています。システムが組み込みで持っているメカニズムを、数理モデルに取り込まないわけにはいかないので、参照はデ…

圏論の普遍性が難しい理由

圏論の「普遍性」という言葉は、曖昧多義で何を言っているか分からなくなるリスクがあるので、個人的には使わないようにしています。「普遍性」「普遍対象」などの代わりに、(とある圏)の終対象または始対象である旨を明示することが多いです。とはいえ、…

アドホック随伴系と自由対象・台対象

割とよく使われる概念であっても、合意された名前がないと、ソレについて語ることが困難です。随伴系〈adjunction | adjoint system〉にはなっていない“随伴系もどき”はけっこう登場するのですが、これといった名前はないようです。ここでは、ソレをアドホッ…

随伴の自然なホムセット同型から単位自然変換へ

「代数的な随伴系から自然なホムセット同型へ」において、次のように書きました。 “自然なホムセット同型”から“単位と余単位を含む代数系”を作るほうは、(僕は)うまくストリング図が描けなくて毎回行き詰まります。なので、やりません(うまくいったら報告…

ファミリー構成モナド: 大規模構造の事例として

圏 $`\mathcal{C}`$ の対象ファミリー〈family of objects〉を対象として、対象ファミリーのあいだの準同型射を射とした圏を構成できます。この圏を $`\mathrm{Fam}(\mathcal{C})`$ とします。圏 $`\mathcal{C}`$ を引数変数と考えると、$`\mathrm{Fam}`$ は…

多項式関手、図式ドクトリン、余多項式関手

応用圏論では、多項式関手を様々な分野で使うことが始まっています。多項式関手の圏は、集合圏上の余前層の圏 (自己関手圏にもなる)の部分圏ですが、集合圏を一般の圏にした多項式関手も定義できます。双対的に余多項式関手も定義できます。$`\newcommand{…

それでもカン拡張の左右を忘れてしまう

何の必然性もなく命名された「左」「右」を憶えるのは大変です。「ガーッ! また左と右が。カン拡張」より: 以前、「カン拡張における上下左右: 入門の前に整理すべきこと」というけっこう長い記事を書いたにもかかわらず、 -- にもかかわらずですね、カン…

高階関手の計算: 米田と淡中の周辺

高階関手〈higher-order functor〉は、高次圏のn-関手〈n-functor | higher functor〉のことではなくて、高階関数と同様に、関手(または自然変換)を引数にしたり、関手(または自然変換)を返すような関手のことです。高階関数の計算が、関数を射とする圏…

反対圏と反変関手はややこしい

大域米田の補題などを扱う場合は、関手や自然変換の向きに注意する必要があります。向きをどんな約束で決めているか、向きが保存されるか/変更されるかをちゃんと追跡しないと混乱します。向きの約束や保存/変更の法則は、様々な要因が絡んできて思いのほ…

前層を特定対象で評価する関手の表現

大域米田の補題を使った計算練習をしてみます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}…

関手・自然変換のカリー化

関数はカリー化できて、それは便利な道具になります。同様に、関手をカリー化することができます。関手のカリー化は割とお馴染みかも知れません。それだけでなく、自然変換もカリー化することができます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %\newcommand…

スパンの圏って定義できるの?

圏 $`\mathcal{C}`$ がファイバー積を持つなら、$`\mathcal{C}`$ のスパンの圏を構成できると言われています。これって、ほんとうでしょうか?$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } %\newcommand{\op}{\mathrm{op} } \newco…

反対圏/反変関手と、2-圏のストリング図

昨日の記事「大域米田の補題」において、大域米田の補題に関する計算について、次のように書きました。 テキストで計算していると何がなんだかワケワカメになることがあるので、絵算〈{pictorial | graphical} calculus〉を利用するのが得策でしょう。「米田…

大域米田の補題

通常、米田の補題と呼ばれている定理は局所的〈local〉、あるいは点ごと〈point-wise〉の主張です。もっと広範囲・大規模な構造に関する主張も言えます。その広範囲・大規模な主張を、ここでは大域米田の補題〈global Yoneda lemma〉と呼んでおきましょう。…

関手の表現可能性と、要素の圏の終対象・始対象

最近(2023-06)の記事「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」において、2つの有限次元ベクトル空間 $`A, B`$ からの双線形写像集合を対応させる共変関手 $`T_{A, B}(\text{-})`$ の表現対象がテンソル積空間 $`A\otimes B`$ になる、とい…

データベース:: 具体例の記述方法

一連のデータベースに関する記事のハブ記事(リンク集がある記事)は「データベース:: テーブルのキーって何なのよ?」です。その他の記事はハブ記事からたどれます。抽象的な議論だけでは分かりにくいので、データベースの具体例を入れたいのですが、具体例…

データベース:: テーブル構造とデータベース構造

「データベース:: テーブルのキーって何なのよ?」の続きです。データベース理論は数理科学の一分野だろうし、みずからそう標榜しています。しかしその割には曖昧だよなー、と僕は感じます。「定義や主張を論理式で書く」とか「命題とメタ命題を区別する」と…

ダガー・ハイパーグラフ圏とドット付きワイヤリング図

ハイパーグラフ圏〈hypergraph category〉については、以下の記事でごく簡単に触れたことはあります。 ハイパーグラフ圏 一瞥 しかし、それ以降は話題にしたことがありません。ハイパーグラフ圏をちょっと使ってみたい気がしたので、次の論文の前半をもとに…

表現可能関手と普遍元の例、ラムダ計算から

「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」で、ベクトル空間のテンソル積を事例として、表現可能関手と普遍元の話をしました。テンソル積より簡単でお馴染みな例がありますね。デカルト圏における指数対象〈exponential object〉です。これは…

双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性

表現可能関手〈representable functor〉に関連して、「普遍性〈universality〉」と「普遍元〈universal object element〉*1」という言葉のハッキリした用法があることを最近知りました。「普遍性」は、up-to-isoで何かが一意的に決まる状況で漠然と使うこと…

データベース:: テーブルのキーって何なのよ?

2019年に「データベース:: 論理の使い所は」という記事を書きました。タイトルに「データベース::」という接頭辞を付けたのは、一連の記事を検索しやすくするためです。一連の記事とは、次の意図で書かれる“はずだった”記事です。 ちゃんと書こうと思うと億…

gsモノイド圏

圏論的確率論の舞台となる圏にマルコフ圏〈Markov category〉があります。マルコフ圏に関しては、このブログでけっこう書いています。 「マルコフ圏」の検索結果 最初の紹介記事を挙げれば: マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化 マルコ…

演繹系と閉包系

「演繹系とオペラッド」で演繹系について述べました。演繹系を、別な側面からさらに抽象化した構造として閉包系〈closure system〉があります。$`\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %…

続報・カーディナリティ(多項関係、関係の属性も)

「カーディナリティ〈多重度〉の“カラスの足”記法が分からない」において、関係のカーディナリティ〈多重度〉の説明が(僕が見た少数の事例では)曖昧・意味不明で困ったもんだ、という話をしました。その後、ER diagrams vs. EER diagrams: What’s the diff…

カーディナリティ〈多重度〉の“カラスの足”記法が分からない

データベースに関する説明では、一見して理論的に見えても、その実、内容が曖昧だったり残念だったりすることがあります。例えば、数年前に次の記事を書きました。 奥野幹也『理論から学ぶデータベース実践入門』はどこがダメなのか 最近、ER図に出てくる“カ…

外部ホム関手の書き方と計算

「米田埋め込みの書き方(色々ありすぎ)」において、米田埋め込みの記法がたくさんあることを紹介しました。別名/別記法の氾濫は、鬱陶しくて面倒な事ですが、メリットもあります。それは、用途・場面に応じて適切な呼び名と記法が選べることです。今言っ…

米田埋め込みの書き方(色々ありすぎ)

「米田テンソル計算 3: 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論」でも触れたことですが、米田埋め込み/余米田埋め込み/ホムセットの記法が色々ありすぎます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{-}}`$ $`\text…

レイヤー化ストリング図: スプリット図

「層化ストリング図」では、"layer"を「層」としたのですが、「層」は"sheaf"の翻訳語であり、トラブルの原因になりそうなので「層」から「レイヤー」に変更します。ただし、過去の記事は変更しません*1。で、レイヤー化ストリング図〈layered string diagra…

層化ストリング図

次の論文の内容で、僕が「面白いな」と思った点を幾つかピックアップして紹介します。 Title: String Diagrams for Layered Explanations Author: Leo Lobski, Fabio Zanasi Submitted: 8 Jul 2022 Pages: 21p URL: https://arxiv.org/abs/2207.03929 科学的…

代数的な随伴系から自然なホムセット同型へ

互いに逆向きな関手のペア $`F:\mathcal{C} \to \mathcal{D}`$ と $`G:\mathcal{D} \to \mathcal{C}`$ を含むような随伴系〈adjunction | adjoint system〉の定義として、次の2つがよく使われます。 自然なホムセット同型 単位と余単位を含む代数系 “単位と…