「圏論勉強会 復習」の続きみたいなハナシ。話題はレトラクション。
レトラクション対（retraction pair）とは、r:X→Yとi:Y→Xの対(r, i)で、i;r = X（idXを単にXと書く）を満たすもの。rのほうを（狭い意味で）レトラクションと呼んで、iを埋め込み（embedding/imbedding）と呼ぶこともあります。rをレトラクションと呼ぶ場合でも、対応する埋め込みiの存在を（暗黙にでも）必ず仮定しています。
実例は「レトラクションの起源（かな？） 」で述べました。他の例も出すべきだと思うけど、今日は書かない（って、いつか書くのか？）。今日はレトラクションとベキ等自己射*1（idempotent endomorphism； f;f = f である射*2）の関係。
(r, i)がレトラクション対であるとき、f = r;i とすると、
f;f // fの定義 =(r;i);(r;i) // ;の結合性 =r;(i;r);i // (r, i)がレトラクション対 = r;X;i // 恒等射の性質 = r;i // fの定義 = f
よって、fはベキ等。
f:X→Xがベキ等であり、f = e;m とエピモノ分解可能だとします。つまり、e:X→Y はエピ、m:Y→X はモノとします。このとき、
f;f = f // fをe;mとエピモノ分解 (e;m);(e;m) = e;m // ;の結合性と恒等射の性質 e;(m;e;m) = e;(X;m) // eがエピなので（e;u = e;v ⇒ u = v） (m;e);m = X;m // mがモノなので（u;m = v;m ⇒ u = v） m;e = X
よって、エピモノ分解可能なベキ等自己射は、そのエピモノ分解によりレトラクション対(e, m)を定義します。
どんな射もエピモノ分解可能であるような圏では、レトラクション対とベキ等自己射が“ほぼ”1対1に対応します。「ほぼ」はup-to-isoってことですが、正確に述べるには、subobjects概念を出したほうがいいのかもしれません。
