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参照用 記事

レトラクションとベキ等自己射

「圏論勉強会 復習」の続きみたいなハナシ。話題はレトラクション。

レトラクション対(retraction pair)とは、r:X→Yとi:Y→Xの対(r, i)で、i;r = X(idXを単にXと書く)を満たすもの。rのほうを(狭い意味で)レトラクションと呼んで、iを埋め込み(embedding/imbedding)と呼ぶこともあります。rをレトラクションと呼ぶ場合でも、対応する埋め込みiの存在を(暗黙にでも)必ず仮定しています。

実例は「レトラクションの起源(かな?) 」で述べました。他の例も出すべきだと思うけど、今日は書かない(って、いつか書くのか?)。今日はレトラクションとベキ等自己射*1(idempotent endomorphism; f;f = f である射*2)の関係。

(r, i)がレトラクション対であるとき、f = r;i とすると、


f;f
// fの定義
=(r;i);(r;i)
// ;の結合性
=r;(i;r);i
// (r, i)がレトラクション対
= r;X;i
// 恒等射の性質
= r;i
// fの定義
= f

よって、fはベキ等。

f:X→Xがベキ等であり、f = e;m とエピモノ分解可能だとします。つまり、e:X→Y はエピ、m:Y→X はモノとします。このとき、


f;f = f
// fをe;mとエピモノ分解
(e;m);(e;m) = e;m
// ;の結合性と恒等射の性質
e;(m;e;m) = e;(X;m)
// eがエピなので(e;u = e;v ⇒ u = v)
(m;e);m = X;m
// mがモノなので(u;m = v;m ⇒ u = v)
m;e = X

よって、エピモノ分解可能なベキ等自己射は、そのエピモノ分解によりレトラクション対(e, m)を定義します。

どんな射もエピモノ分解可能であるような圏では、レトラクション対とベキ等自己射が“ほぼ”1対1に対応します。「ほぼ」はup-to-isoってことですが、正確に述べるには、subobjects概念を出したほうがいいのかもしれません。

*1:「じこしゃ」は「事故車」に変換された。まー、当然だわな。

*2:f;f = f が意味を持つなら、fが自己射であることは必然的。