「圏論勉強会 復習」の続きみたいなハナシ。話題はレトラクション。
レトラクション対(retraction pair)とは、r:X→Yとi:Y→Xの対(r, i)で、i;r = X(idXを単にXと書く)を満たすもの。rのほうを(狭い意味で)レトラクションと呼んで、iを埋め込み(embedding/imbedding)と呼ぶこともあります。rをレトラクションと呼ぶ場合でも、対応する埋め込みiの存在を(暗黙にでも)必ず仮定しています。
実例は「レトラクションの起源(かな?) 」で述べました。他の例も出すべきだと思うけど、今日は書かない(って、いつか書くのか?)。今日はレトラクションとベキ等自己射*1(idempotent endomorphism; f;f = f である射*2)の関係。
(r, i)がレトラクション対であるとき、f = r;i とすると、
f;f // fの定義 =(r;i);(r;i) // ;の結合性 =r;(i;r);i // (r, i)がレトラクション対 = r;X;i // 恒等射の性質 = r;i // fの定義 = f
よって、fはベキ等。
f:X→Xがベキ等であり、f = e;m とエピモノ分解可能だとします。つまり、e:X→Y はエピ、m:Y→X はモノとします。このとき、
f;f = f // fをe;mとエピモノ分解 (e;m);(e;m) = e;m // ;の結合性と恒等射の性質 e;(m;e;m) = e;(X;m) // eがエピなので(e;u = e;v ⇒ u = v) (m;e);m = X;m // mがモノなので(u;m = v;m ⇒ u = v) m;e = X
よって、エピモノ分解可能なベキ等自己射は、そのエピモノ分解によりレトラクション対(e, m)を定義します。
どんな射もエピモノ分解可能であるような圏では、レトラクション対とベキ等自己射が“ほぼ”1対1に対応します。「ほぼ」はup-to-isoってことですが、正確に述べるには、subobjects概念を出したほうがいいのかもしれません。