昨日の圏論勉強会に少し顔を出しました。そしたら、たけをさんがお絵描き計算（絵算；pictorial calculation）をしていました（この記事を参照）。けっこうめんどくさい計算をお絵描きしていたので、その場でお絵描き2級を授与しました（少し、はやまった気もするが）。
使っていた描き方は、「デカルト閉圏における絵算 詳細編」のものですが、実は「デカルト閉圏における絵算 オマケ」で補足訂正しているので、新しい流儀を使ってくださいな。新しい描き方を使うと、ベータ変換、イータ変換がより直感的になります。そのことを以下で説明。
内容：
新しい描き方
ラムダ抽象（カリー化）により分岐とループができますが、新しい描き方では：
- 分岐ノードを小さな丸で描く。必要なら文字「λ」で印を付ける。
- ループの向きは逆方向だと考える。
- 指数を表す線は（それが必要なときは）二重線にする。
- 「左から右」以外に、「下から上」でもよい*1。
指数baの線（ワイヤー、ケーブル）は、順方向のbと逆方向のaを束ねたものだと考えるのです。ですから、evalの接合部分を写実的に描くとこうなります。
青いワイヤーが逆行しているのがミソ。
ベータ変換のアニメーション
ベータ変換に相当する等式 evala,b(Λa(f), ida) = f は、次のようになります。
これをアニメーション（というか、パラパラ漫画）にしましょう。説明は図の後。
- ラムダ抽象(λ)とevalの接合器をはずしてワイヤーを露出させます。
- aのワイヤーを少し左側に引っ張ると、S字形になります。
- aのワイヤーをもっと引っ張るとS字が消えます。
- ワイヤーをピンッと張って完了。
引き伸ばしとジグザグ等式
ベータ変換のアニメーションで注目すべきことは、その途中で
- S字形のワイヤーが出現して、それが引き伸ばされる
ことです。
イータ変換は、ある意味でベータ変換の逆と言えますが、その本質的部分は Λa(evala,b) = idba です。この等式をアニメーションで変形すると、Z字形のワイヤーが引き伸ばされことになります（是非描いてみてください）。
S字形／Z字形のワイヤーの引き伸ばしは、実はコンパクト閉圏の基本的な性質です。次の絵は、「お絵描き圏論」にある絵です。
S字形／Z字形のワイヤーが真っ直ぐに引き伸ばせることは、「三角等式」「剛性（rigidity）等式」などと呼ばれますが、僕は「ジグザグ等式」という用語が気に入ってます。
ジグザグ等式は、コンパクト閉圏の親類になっている圏、例えばテンソル圏でも中心的な役割を演じ、結び目理論、統計力学、表現論、量子群などとも関係するそうです*2。
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圏論的指数が、“計算”の世界とどう関係するかは「圏論的指数の周辺：ラムダ計算、デカルト閉圏、ノイマン型コンピュータ」に書きました。圏論的指数の定義とその周辺のことは「圏論的指数の定義」にあります。
デカルト閉圏の基礎となるデカルト圏については「なぜ『光が影を作ること』と『主張の一部を再主張すること』が関係するのか；あるいは、デカルト圏入門」で説明しました。閉圏という概念については「モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム」が多少は参考になるでしょう。
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