なんでソコに、足し算、掛け算、累乗の記号を使うのですか？

えっ、それが疑問だったの？あ、そう。んじゃ、ちょっと説明しましょう。

A、Bが集合だとして、

AとBの直和は、A＋B
AとBの直積は、A×B
AとBの指数は、B^A

と書きます。算数の足し算、掛け算、累乗の記号を使うのはなぜ？いやっ、そもそも、直和＜ちょくわ＞、直積＜ちょくせき＞、指数＜しすう＞ってなに？と、そんな疑問を持つ人のために。

記号の約束

集合とはいっても、ここでは有限集合だけを例に使うことにします。そして、[0] = {}, [1] = {1}, [2] = {1, 2}, [3] = {1, 2, 3} などと約束します。つまり、[n]と書いてあったらそれは「1からnまでの整数の集まり」です。こういった[n]は有限集合の典型例といえるでしょう。

有限集合Aに対して、#(A) は、Aの要素の個数だとします。例えば、#({a, b}) = 2 です。シャープ記号はナンバー記号とも呼ばれますから、#で個数（ナンバー）を表すのは自然でしょ。混乱の恐れがなければ、#(A) を #A とも書きます（丸括弧を省略）。

当然ながら、#[0] = 0, #[1] = 1, #[2] = 2, #[3] = 3、一般に #[n] = n です。これから説明することは、

#([n]＋[m]) = #[n]＋#[n] = n＋m
#([n]×[m]) = #[n]×#[n] = n×m
#([m]^[n]) = #[m]^#[n] = mⁿ

ということだけです。（知っている方は、以下はスキップ。）

直積はやさしい

直積が一番簡単そうなので、これからはじめましょう。A×Bは、Aの要素aとBの要素bの組(a, b)を全部寄せ集めた集合です。例えば、

[2]×[3] = {1, 2}×{1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

です。(1, ?) と (2, ?) という2つのパターンを考えて、クエスチョンマークのところに、1, 2, 3が入ると、組み合わせ方は 2×3 ですね。あるいは、2本の縦線と3本の横線を交差させた碁盤目を勘定して 2×3 。この事情を一般化すれば、

#([n]×[m]) = #[n]×#[m] = n×m

直和は少しむずかしい

直和 A＋B は、合併 A∪B とは違います。AとBに共通に属する要素があっても、それらを別々なものだと思って寄せ集めます。例えば、[2]＋[3] は、合併 [2]∪[3] とは違います。[2]∪[3] = {1, 2}∪{1, 2, 3} = {1, 2, 3} ですが、[2]＋[3] = {1, 2, 1', 2', 3} です。1' は、1 と同じモノですが別物扱いします -- なんか日本語おかしいですよね、でもまー、そんな感じなんですよ。2' は 2 と同じモノだけど別物ね :-)

なんだか禅問答みたいだと思う人のために、A＋B = ({1}×A)∪({2}×B) という定義があります。この定義をありがたがることは全然ない（他にも定義の仕方はある）のですが、便利なのは確か。この定義によれば、

{1, 2}＋{1, 2, 3} = ({1}×{1, 2})∪({2}×{1, 2, 3})

なので、

{(1, 1), (1, 2)}∪{(2, 1), (2, 2), (2, 3)} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

です。ここで、(1, ?) (2, ?) に出てくる1と2は、直積の場合とは全然別で、出身を示す目印です。A＋Bをこの方法で作ったとき、(1, x) はAから来た（Aに由来する）xを示し、(2, x) はBから来たxを示します。「同じモノですが別物扱いします」という変な日本語は、「同じxですが、目印となる1と2で区別して扱います」ってことね。

{1}×A はAのコピー、{2}×BはBのコピー、目印1, 2が違うため共通部分はなく、#(A＋B) = #({1}×A)＋#((2}×B) = #A＋#B は納得いくでしょ。結局、

#([n]＋[m]) = #[n]＋#[m] = n＋m

ですね。

最後は指数

集合A、Bに対して、B^AはBのA乗、指数集合といいます。確かに記号は指数（累乗、べき）の形をしているのだけど、「指数」という味気ない言葉じゃ何もイメージできませんよね。「関数集合」と言えばより事情が分かるでしょう。B^Aは、AからBへの（A上で定義され、Bに値を取る）関数の全体です。A→B という記法のほうが感じがでるでしょうが、矢印があまりに多用されているので、B^A と書いたほうがむしろ混乱しません。

さて、[3]^[2]を考えましょう。これは（他の矢印の用法と区別できるなら）、[2]→[3] と書いてもいいのです。集合{1, 2}上で定義され、値を{1, 2, 3}に取る関数fは、f(1)とf(2)で決まります。f(1)の選び方は3通り、f(2)の選び方は3通り。3通りと3通りを自由に組み合わせていいので、合計 3×3＝3²通りの可能性があります。これらの組み合わせがそれぞれ1つの関数を決めるでの、関数の個数も3²です。

9個全部はともかくも、４つくらい並べておきましょう。

f(1) = 1, f(2) = 1
f(1) = 1, f(2) = 2
f(1) = 1, f(2) = 3
f(1) = 2, f(2) = 1

[2]^[3] だったら、f(1), f(2), f(3) の値がそれぞれ2通りずつなので、2×2×2 = 2³ です。一般に、

#([m]^[n]) = #[m]^#[n] = mⁿ

と、そんなわけで、足し算、掛け算、累乗の記号を使うのは的ハズレではありません。