そもそもノーヒントでは難しすぎる問題なので、順次ヒントを追加していく予定です。
何人かの方は、もうSeven Treesパズルを解き終わったよう(解答はまだナイショ)ですが、ヒントを追加します。ただし、このエントリーをお読みになって、「なんじゃソレ!?」「どこがヒントなんだよ、ヴォケッ!」「頭おかしいんじゃねーの?」と言いたくなる方もいるかと思います。でも、ふざけてるわけじゃないので怒らないでね。
とある論文に非構成的な証明(簡単ちゃ簡単)があって、「非構成的に示せれば、構成的にも示せる」というメタ定理もあるので、*具体的に* fとgを書き下せるはずなんですよね。
これから述べることは、上記の「とある論文」に示されている「非構成的な証明」です。TとT7をつなぐ関数を具体的に構成せずに、TとT7が同型であることを示します。以下、集合の同型も(ほんとには等しくなくても)イコール記号「=」で表します。
「ちゃんと問題を述べると」の最後で、木の集合Tに関して、T = I + T2 を示しました。つまりこれは、Tが、未知数Xに関する方程式 X = I + X2 の解ということです。
計算を見やすくするために、I(アイ)を1(イチ)と書いて、方程式の項を移項すると、
- X2 - X + 1 = 0
これは2次方程式なので、解の公式で解けて、解は (1 ± √3i)/2 (iは虚数単位)。これらの解は絶対値が1、偏角が60度および-60度(300度)の複素数で(三角定規を思い起こしてください)、1の6乗根になっています。
つまり、
- X = I + X2 ならば、X6 = 1
X6 = 1 ならば X7 = X は明らかなので、
- X = I + X2 ならば、X7 = X
木の集合Tは、上の命題の仮定(十分条件)を満たしているので、結論内のXにTを代入した T7 = T が成立します。
オットットット、最初に書いた注意を思い出してください、石を投げないでください。
いやっ、冗談じゃなくてね、これはこれでSeven Treesのヒントになっているんですよ。なんだったら次も参照してみてください。
もとの論文(「とある論文」)の内容は、たぶん来週紹介します。