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参照用 記事

圏上のコチェーンとコバウンダリ

「圏の余鎖複体:とりあえず単純(トリビアル?)なケース」の続きです。圏C上で一般化された係数を持つコチェーン、コバウンダリを定義します。コホモロジーを考えるというよりは、コバウンダリ条件を記述する等式自体を観察する感じです。

G係数コチェーンの定義

圏Cのk-単体の集合をΔk(C)とします。k = 0, 1, 2, 3 のケースを具体的に書き下すと:

  • Δ0(C) = |C|
  • Δ1(C) = C (Morph(C)を単にCと書いた)
  • Δ2(C) = {[f, g] | f, g∈C, cod(f) = dom(g)}
  • Δ3(C) = {[f, g, h] | f, g, h∈C, cod(f) = dom(g), cod(g) = dom(h)}

Δk(C)に適当な係数(通常はZ)で自由生成した加群がチェーン加群Chk(C)でした。今回は加群を作らず、単体の集合Δk(C) をそのまま使います。

Gが可換とは限らない群のとき、C上のG係数k-コチェーンとは、Map(Δk(C), G) の元だとします。Mapは写像の集合を表します。Gが可換のときは、f:Δk(C)→G があると、f*:Chk(C)→G という線形写像に一意的に拡張できるので、以前の定義を再現できます。つまり、Gが可換群(Z加群)のときは次の等式(isoだけど)が成立します。

  • Chk(C, G) = HomZ-Mod(Chk(C), G) = Map(Δk(C), G)

余境界作用素

係数群Gの演算は掛け算の形で書くとして、記号「・」を群演算、「(-)-1」を逆元とします。Gが可換群なら、以前の余境界作用素の定義をそのまま使えます。ξは2-コチェーン、φは1-コチェーン、αは0-コチェーンとして、余境界dは次のようになります。

  • (d3(ξ))[f, g, h] = ξ[f, g] + ξ[f;g, h] - ξ[f, g;h] - ξ[g, h]
  • (d2(φ))[f, g] = φ(f) +φ(g) - φ(f;g)
  • (d1(α))(f) = α(B) - α(A)

足し算「+」を「・」に置き換えて、引き算は「・」と「(-)-1」で書き換えてみると、次のようになります。

  • (d3(ξ))[f, g, h] = ξ[f, g]・ξ[f;g, h]・(ξ[f, g;h])-1・(ξ[g, h])-1
  • (d2(φ))[f, g] = φ(f)・φ(g)・(φ(f;g))-1
  • (d1(α))(f) = α(B)・(α(A))-1

零を単位元eに置き換えると、コサイクル条件は次のようになります。

  • ξは2-コサイクル: ξ[f, g]・ξ[f;g, h]・(ξ[f, g;h])-1・(ξ[g, h])-1 = e
  • φは1-コサイクル: φ(f)・φ(g)・(φ(f;g))-1 = e
  • αは0-コサイクル: α(B)・(α(A))-1 = e

逆も単位も使わないコサイクル条件

コサイクル条件から、逆「(-)-1」と単位「e」を消してしまうのは簡単です。

  • ξは2-コサイクル: 任意の3-単体[f, g, h] に対して ξ[f, g]・ξ[f;g, h] = ξ[g, h]・ξ[f, g;h]
  • φは1-コサイクル: 任意の2-単体[f, g] に対して φ(f)・φ(g) = φ(f;g)
  • αは0-コサイクル: 任意の1-単体f:A→Bに対して α(B) = α(A)

これらの等式には二項演算「・」しか含まれていません。係数が群である必要はなくなります。単位も不要なのでモノイドである必要さえもありません。二項演算「・」になんの法則性も仮定してません。

以上のことから、Mがなんらかの二項演算「・」を持つとき、圏C上のM係数コチェーンChk(C, M)とM係数コバウンダリBk(C, M)が定義できます。もちろん、境界作用素も定義できないし、加群の代数も使えないので、大変に不便な状況になってしまいます。が、定義の適用範囲はうんと広がっているので、面白い実例が見つかるかも知れません。