「田辺さんの圏論デモ、こりゃオモロー」で紹介した田辺さんのエントリーに、画面も付きました。
田辺さん、ありがとうございます。
それとは別に、某太田君が画面ショットを送ってくれました。どうもありがとね。メール文面を引用:
太田です。 静止画ですが、各パターン撮ってみました 4つの円を左から 1、2、3、4としています。 あの後遊んでいたら、1,2とか3,4という組み合わせだと 延々繋がることがわかりました。 - 1,2の組み合わせだと必ず交互 - 3、4の組み合わせだと3、3とかも可
[追記]画像が大きいので、そのままだとサイドバーとかぶってしまうことが多いようです。それで、 width="100%" を指定したのですが、そうすると小さく見にくい画像になってしまうことがあります。原寸大の画像を含むエントリーは:
[/追記]
↓が初期状態の画面。
「4つの円を左から 1、2、3、4としています。」ということです。
それで、↓は1番と2番の結合。下側に結合の結果が描いてあります。静止画だと分かりにくいけど、1番が2番の穴にはめ込まれてグリグリと回転して位置合わせして、それから境界(円環内部の円)が消えるんだよね。
↓は3番と4番の結合。
次は2番、1番の順で結合↓ 1番、2番のときと比べてください。
↓は4番と3番。
3番と3番も結合可能でこんな↓ 1つ前と完全に同じじゃないよ、星の位置に注意。でも、トポロジカルに区別できないなら通常は同一視します。
太田君の“発見”についてチョット言っておくと; 4つの射(ヒモ模様)を左から A1, A2, A3, A4 として、円周上の点の個数を勘定すれば、射の域/余域はわかります。次のとおりです。
- A1:5→7
- A2:7→5
- A3:20→20
- A4:20→20 (A3と事実上同じ)
射の結合可能性(composability)から、A1;A2、A2;A3 A3;A4 などは作れますが、A1;A3 とかは無理です。
太田君曰く:
- 1,2とか3,4という組み合わせだと延々繋がることがわかりました。
A1;A2;A1;A2 とか A3;A4;A4;A3;A3 とかも作れるってことです。
- 1,2の組み合わせだと必ず交互
- 3、4の組み合わせだと3、3とかも可
これは、それぞれの射の域/余域と結合可能性からの帰結です。