モニャドセミナー4のとき、hirataraさんが、「モノイドの双対であるコモノイド」の定義に関して、なにかにこだわっている様子でした。後からご自分で「イコライザの双対はコイコライザ」*1という例を出してますので、コモノイド概念はご理解いただけたのだろうと思います。
それにしても、毎度のことではありますが、用語の多義的使用にはホントにまいりますよ。懇親会でも出た話題ですが； 僕は「白紙で考えてね」と強調するんですが、そうはいっても自分が知っている言葉が出れば、それを自分が知っている意味で解釈するのは当たり前で、なにもかも白紙で考えるなんて不可能です。
「双対」という言葉も、色々な場面で色々な意味で使われる言葉で、頭痛の種ですわ。「モノイドの双対はコモノイド」というときの「双対」は、次のような意味です -- ある概念や構造を、圏論の標準的方法で定義したとき、その定義に出てくる射を全部逆向きにした概念／構造を、もとの概念／構造の「双対」と呼ぶのです。
矢印のひっくり返しとしての「双対」
簡単な例として、「終対象」という概念を考えてみます。圏Cのなかで「Aが終対象である」という命題は、次のように書けます。
- ∀X∈|C| ∃!f∈C .(f:X→A)
論理式の代わりに自然言語で書けば：
- Cの任意の対象Xに対して、f:X→A という射fが、常にただ1つだけ存在する。
この命題に出現する射（の記号）はfだけで、f:X→A、矢印をひっくり返すと f:X←A ですが、普通は f:A→X と書きます。「f:X→A」を「f:A→X」に置き換えてみると、先の命題は次のようになります。
- ∀X∈|C| ∃!f∈C .(f:A→X)
- Cの任意の対象Xに対して、f:A→X という射fが、常にただ1つだけ存在する。
これは、「Aが始対象である」という命題です。つまり、「終対象」という概念の双対概念である「始対象」は、矢印のひっくり返しにより定義できます。このことを、「終対象の双対は始対象」と言うわけです。
「終←→始」のように、うまくペアになる形容詞がないときは、「余／コ」を付けて命名します。それが、「イコライザ←→コイコライザ」、「代数←→余代数」、「モノイド←→コモノイド」「クライスリ圏←→余クライスリ圏」といった言葉の対です。「直積←→直和」も双対で、人により「直積←→余直積」とも言います。
双対な概念／構造はまったくの別物
ある概念／構造の定義から、何も考えなくても機械的に双対的な概念／構造を定義できます。そうやって定義した2つの概念は、定義の上では「単なるひっくり返し」なんですが、具体的な圏のなかで具体例を考えてみると、たいていはまったくの別物です。
終対象と始対象は、概念／定義としては双対ですが、だからといって、終対象と始対象が同じとか似てるとかにはなりません。終対象の存在が、始対象の存在を保証するわけでもないし、その逆も成立しません。モノ（モニックな射）とエピ（エピックな射）も双対ですが、モノ射とエピ射は全然似てません。モノ射からエピ射を作る手段もないし、モノ射の背後にエピ射があるとか、モノ射とエピ射が1:1に対応するとかいうこともありません。
ここで注意しなくてはならないのは、「圏Cのモノ射は、Cの反対圏Copではエピ射」という事実があることです。これをもって「モノ射とエピ射が1:1対応する」と主張するのは間違いではないのですが、あまりにもつまらなくて、何も言ってないのと同じです。モノもエピも同じ圏Cのなかで考えてはじめて興味深くなるのであって、C内の概念がCop内の双対概念に対応するのは当たり前過ぎます。
Copのようなツマラナイ例じゃなくて、双対概念／構造の具体例を考えると、もとの概念／構造と驚くほど似てないのです。ほんとに別物なんです。例えば、「代数←→余代数」の双対性は、圏論の枠組みがないと気付くのは困難でしょう。例えば、足し算のように任意有限個のモノから結果（答）を出せる演算を備えた「代数」に対して、非決定性オートマトンが、双対である「余代数」の例になっています。
「モノイド←→コモノイド」双対は、「代数←→余代数」の特殊な例ですが、現実に登場するコモノイドは、モノイドとまったく似てないし、背後にモノイドがいるわけでもないし、モノイドからコモノイドを自動的に作れるわけでもありません（特殊な状況では作れることもあります）。
線形代数の双対概念
同じ「双対」という言葉を使っていても、線形代数に出てくる双対空間や双対写像は状況も意味も違います。有限次元ベクトル空間の圏で考えることにすると、ベクトル空間Vにその双対空間V*を対応させることができ、(V*)* は V と同じ（正確には自然同型）です。
有限次元ベクトル空間の圏をFdVectとして、D(V) = V*, D(f) = f* （fの双対写像）とすると、D:FdVect→FdVect は反変関手となり、D;D = IdFdVect となります。ホントはイコールじゃないけど、だいたい「2回適用するともとに戻る」と言っていいでしょう。
「2回適用するともとに戻る」ことは、Dは鏡映変換に似ています。つまり、双対の世界を「鏡の世界」と思えるわけです。有限次元ベクトル空間の圏は、もとの世界と鏡の世界が重なったような構造を持つのですが、これはとても特殊な例です。
白紙から考える
冒頭に書いたように、「なにもかく白紙で考えるなんて不可能」ですが、それでも、矢印をひっくり返す双対に関しては、臆断を排して、愚直に矢印をひっくり返してみてください。矢印をひっくり返した定義を、できるだけ白紙で眺めて、それから事例を見つけたり、性質を調べてみてください。
見出しの All Evil comes form dualities は、「圏論講義ビデオの制作ユニット The Catsters」で紹介した tom74730 (Tom Sunders)さんの奇妙なビデオ http://www.youtube.com/watch?v=U1DN0_PEJAE に出てきたセリフです。Tomさんの真意はサッパリわかりませんが、dualities をうまく使えば、All Virtue comes form dualities かも知れません（まー、言い過ぎだけど）。
*1:僕は、「等値射、または等値核」、「余等値射、または余等値核、または等値余核」と漢字で書くほうが好きです。
