「圏論：米田埋め込みと射の社会性」でトチ狂ったワケワカンナイことを書いてしまい、「昨日の内容への謝罪＋圏もどきから圏を作る話」でゴメンナサイと言ったわけですが、その事情は； とある問題を考えていて、そこで当面していた特定状況と一般論が混同・混乱していたのです。
「当面していた特定状況」は、「昨日の内容への謝罪＋圏もどきから圏を作る話」でも触れましたが、もう少し解説っぽく書いておきます。
圏の生成系（識別系）
Cが圏で、GをCの対象類の部分集合とします； G⊆|C| 。Gが圏Cの生成系（family of generators）だとは、任意の f, g:A→B in C に対して次が成立することです。
- [∀X∈G.∀k:X→A.(k;f = k;g)] ⇒ f = g
ここで、Gがほんとに集合、つまりサイズが小さいことが重要です。そのことをハッキリさせるため、{Xi | i∈I} と添字族の形に書くこともあります。このスタイルだと、上の条件は次の形になります。
- [∀i∈I.∀k:Xi→A.(k;f = k;g)] ⇒ f = g
生成系が単一の対象からなるとき、その対象を生成対象（generator）と呼びます。双対的に、余生成系、余生成対象も定義できます。
何人かの人が「生成系」という呼び名はよくないと言っていて、separatorsを使うことがあります。直訳すれば分離系ですが、意味的には識別系とか弁別系とかでしょう。以下、「識別系」、「識別対象」を使います。
圏論的な点（または要素）
圏Cが識別系 {Xi | i∈I} を持っていて、集合Iに対して直和（余極限）を作れるなら、X = Σ(i∈I : Xi) は識別対象になります。十分に直和が作れる圏なら、識別系も識別対象も同じことです。
圏Cが終対象1を持っていて、1が識別対象になっているとき、その圏は“十分に点を持つ”（well-pointed）と呼びます。なぜ「点」なのかというと、終対象からの射を点（point）とか要素（element）と呼ぶからです。集合圏で考えると、終対象（単元集合）からの射と集合の要素が同一視できるので、点／要素という用語も納得できると思います。
別な例として、スライス圏C/Mを考えます。C/Mの終対象は idM:M→M in C です。C/Mの対象 α:A→M in C を取り、C/M での射 f:1→α を考えると、それはC内では、f:M→A, f;α = idM となり、αのセクション（断面）であることがわかります。αをM上のバンドルだと思うと、fは大域セクションなので、圏論的な点／要素を大域点／大域要素（global point, global element）と呼ぶこともあります。
Cがモノイド圏として、1が終対象ではなくて、モノイド単位とします（終対象とモノイド単位が一致するときも別なときもあります）。モノイド単位からの射を点／要素と呼ぶこともあります。ベクトル空間にテンソル積を考えた圏だと、モノイド単位はスカラー体*1となり、スカラー体からの射（線形写像）はベクトルと同一視できるので、この場合も点／要素と言ってもいい気はします。
射の集まりとしての識別系
{Xi | i∈I} が識別系のとき、Xi→A という形の射の全体をKとします。Iが集合でも、Kは集合とは限りません。が、サイズの問題は棚上げしておきます。対象Xが識別対象のときは、Kは余スライス圏C＼Xの対象類と（集まりとしては）同じです。Xが終対象やモノイド単位のときは、Kは点／要素の全体ということになります。
以上のようにKを定義したとき、次が成立します。
- [∀k∈K.(k;f = k;g)] ⇒ f = g
ここで、k;f などは「定義可能なとき」という注釈が付くものとします。
識別系 {Xi | i∈I} から作った射の集まりKに関しては上の命題が成立します（それが識別系の定義です）が、一般的な射の集まりKに対してはこの命題は保証されません。
対象の集合から作られたとは限らない射の集まりKが、「[∀k∈K.(k;f = k;g)] ⇒ f = g」を満たすとき、これも識別系と呼ぶことにします。恒等を集めた {idA | A∈|C|} は明らかに識別系です。実際上は、あまり大きくない識別系を探すことが課題になります。
K-同値
圏Cの射の集まりK（とりあえず特に条件を付けない）に対して、同値関係〜を次のように定義します。
- f 〜 g ⇔ [∀k∈K.(k;f = k;g)]
この同値関係は、各ホムセットC(A, B)内の同値関係を寄せ集めたものだと考えるとよいでしょう。K/A = {k∈K | cod(k) = A} とすると、C(A, B) 内の同値関係は次のように書けます。
- f 〜 g ⇔ [∀k∈K/A.(k;f = k;g)]
この同値関係は、射の集まりKで決定されるので、K-同値と呼びましょう。Kを決めれば、Cの各ホムセット、あるいはCの射の全体に同値関係が定義できます。しかし、K-同値関係が次を満たすかどうかはわかりません。
- [(f 〜 f') ∧ (g 〜 g')] ⇒ f;g 〜 f';g'
もし、K-同値関係がこのような性質を持つなら、この同値関係で割り算して（商を作って）圏を作ることができます。
K-同値は良い同値関係なのか？
さて、K⊆C をうまく選んでK-同値関係 〜K を作り、C/〜Kを作る方法は機能するのでしょうか？ うまくいくときもあるのですが、一般的には、Kをどう選んでいいのかわかりません。Kの選び方によっては、同値関係が強すぎて（集約をやりすぎて）、区別すべき射も同一視してしまうこともあります。
今まで説明してきてアレなんですが、あんまり使いやすい道具だとは思えません。とはいえ、特定の状況下では使えるし、使い方のコツがあるのかもしれません。「こんな方法もあるよ」くらいは言っておいてもいいでしょう。
僕は、圏もどきから圏を作る方法としてパスの圏（自由圏）とK-同値を使おうとしていたんですが、結局のところ、別な方法に乗り換えることにしました(苦笑)。その別な方法でも釈然としない気分が残るんだけど、割り切ってしまえばマーうまくいくようです。そっちの話もいずれするかもしれません。
