インデックス付き圏の事例はイッパイあります。また紹介する機会もあるでしょう。
3つの例を紹介します。
図式
Gを多重辺もループも許す有向グラフとします。Cは圏として、g:G→C が有向グラフの準同型であるとき、gは圏C内の図式を定義します。もう少し詳しく言うと； gは「ノードを対象に、有向辺を射に」写します。Gから自由圏F(G)を作ると、gはF(G)まで自然に拡張できます。拡張したgも同じ記号gで示すと、g:F(G)→C は関手です。
圏Cとして特にCatを取れば、g:F(G)→Cat、これはベース圏がF(G)であるインデックス付き圏です。今の定義では関手gが共変ですが、グラフの矢印の向きを一斉に逆転させる操作を考えれば、共変と反変は自由に交換できます。
g:F(G)→Cat、またはその元になった g:G→Cat とは：
- 形状（shape）がGである
- ノードには圏が対応している
- 辺には関手が対応している
そんな図式です。
ベクトル空間
K, L などはスカラー体として、その上のベクトル空間の圏を Vect[K], Vect[L] と書くことにします。スカラー体を固定するごとに圏ができます。よって、体の圏をベース圏としたインデックス付き圏になります。
このベース圏＝体の圏を Field と書きましょう。体の準同型は埋め込みしかないので、射は常に単射です。ですから、Fieldの射 i:K→L は、体の拡大 K⊆L だと思ってもかまいません。埋め込みiから誘導される関手 i*:Vect[L]→Vect[K] とは、スカラー体（係数体）を部分体に制限することです。
例えば、R⊆C という埋め込み（体の拡大）に対して、Vect[C]→Vect[R] は、与えられた複素ベクトル空間を実ベクトル空間と思い直す行為です。この場合は次元が2倍になりますが、いつでも次元が有限倍とは限りません。
インスティチューション
インスティチューションがあるとして、Signを指標圏、Modをモデル関手とします。σ:Σ→Σ' を指標圏Sign内の射（指標射）だとします。インスティチューションの定義から、指標射σに対応するモデル圏のあいだの関手 σ*:Mod(Σ')→Mod(Σ) が誘導されます。この関手σ*はリダクト関手（reduct functor）と呼ばれるものです。
つまり、インスティチューション構造のModは、指標圏Signをベース圏とするインデックス付き圏となっています。
