群の逆元とホップ代数 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

ここ何日か、また圏論関係の小ネタをチマチマと書いています。なにが動機*1かというと、双代数（bialgebra）やホップ代数（Hopf algebra）を圏論的に理解したいからです。さらにそのキッカケはというと、コンヌ、クレイマー、マニンなどが、「計算（computation）を、双代数やホップ代数で定式化できるぞ」と言っているからです。

やっぱりこれからはフローチャートだな

彼ら（コンヌ、クレイマー、マニンなど）が言うことならまず間違いはないだろう、と。双代数やホップ代数がアルゴリズムやソフトウェアにとっても意味があるんだろう、と信じています。彼らの方針が間違っている可能性は非常に低いと思いますが、僕がトンチンカンな勘違いをしたり、結局は理解できなかったりする可能性は高いですね（情けない）。

双代数（双モノイド）の簡単な例は、「双モノイドの簡単な例 -- 自然数の足し算と余足し算」で紹介しました。その記事では、2つの演算を「足し算／余足し算」と呼びましたが、一般的には「積／余積」あるいは「乗法／余乗法」と呼びます。以下では「乗法／余乗法」を使います。

さて、最近までホップ代数とかロクに知らなかった僕*2は、余乗法の意味・必然性がピンと来てなかったのですが、群の概念を圏のなかで定義しようとすると、余乗法がないとどうにもならないことに気が付きました。そのことを記します。

内容：

モノイドの復習
群の場合は
ホップ代数の必然性

モノイドの復習

とりあえず集合圏で考えるとして、×は集合の直積、1は単元集合とします。集合Mと、写像 m:M×M→M、もうひとつの写像 e:1→M の組み合わせ (M, m, e) がモノイドであることは、集合圏内の可換図式で表現できます。

結合律は次の図式が可換であることです。



M×M×M --(m×id)--> M×M

   |                  |

(id×m)              (m)

   |                  |

   v                  v

 M×M  ---(m)-------> M

左からの単位律は次の図式が可換であることですね（右からの単位律も同様なので省略）。



  1×M --(同型)--> M

   |               |

 (e×id)       (イコール)

   |               |

   v               v

 M×M ---(m)-----> M

つまり、モノイド概念は、直積と直積単位である単元集合があれば可換図式で定義できます。これを一般化すれば、モノイド積とモノイド単位を持つ任意のモノイド圏内でモノイド概念を定義できることになります。このことは次のエントリーでも述べています。

群の場合は

モノイドと同様に、集合圏のなかで群を定義しましょう。群Gには逆元があるので、x |→ x^-1 を与える写像を i:G→G とします。組 (G, m, e, i) が群を定義します。結合律と左右の単位律は、モノイドのときとまったく同様に可換図式で定義できます。問題は逆元に関する法則です。

とりあえず、普通の等式で逆元の性質を書いてみると：

x・x^-1 = e
x^-1・x = e

写像mと写像iを使って書けば：

m(x, i(x)) = e
m(i(x), x) = e

まだ変数xが残っているので変数フリーな形になっていません。対角写像 Δ(x) = (x, x) :G→G×G を使うと二箇所に出現する変数を消せます。

λx.[m(x, i(x))] = λx.[(Δ;(id×i);m)(x)]
λx.[m(i(x), x)] = λx.[(Δ;(i×id);m)(x)]

等式の右辺に現れている定数eも、定数のままではダメです。G→1 と e:1→G をこの順で結合（合成）した写像と解釈します。G→1 という写像は、! = !_G と書くのが慣例なので、逆元の法則から変数を除去した形は次のようになります。

Δ;(id×i);m = !;e
Δ;(i×id);m = !;e

この形になれば可換図式で書けます（一番目の法則だけ図に描きます）。



   G ---(!)------> 1

   |               |

  (Δ)             |

   |               |

   v               |

 G×G             (e)

   |               |

(id×i)            |

   |               |

   v               v

 G×G ---(m)-----> G

ホップ代数の必然性

今述べた群の定義をふり返ると、乗法mと単位e以外に、対角 Δ = Δ_G:G→G×G と、Gを1点に潰す写像 ! = !_G:G→1 を使ってます。Δと!がないと、逆元の法則を表現できないので、群を定義することもできません。つまりこういうことです。

モノイド圏のなかに前もってΔと!がないと、その圏内で群概念を定義できない。

一般のモノイド圏のなかでΔと!に要求される性質を公理化して、特定の対象Gに関する (G, Δ_G, !_G) を見ると、それは余モノイド（余代数）になっています。Δ_Gが余乗法、!_Gが余単位です。

とある圏のとある対象X上にモノイド構造を定義するなら、乗法mと単位eを与えればそれでいいのですが、X上に群構造を定義したいなら、前もって余モノイド構造 (G, Δ_G, !_G) が要求されます。そこに乗法mと単位e、それと逆元を与えるiを載せると、(G, Δ_G, !_G, m_G, e_G) となり、まさにホップ代数（ホップ双モノイド）となるのです。

群概念を一般化しようとすると、その前提として余代数（余モノイド）構造を避けて通ることはできないし、その余代数に乗法／単位／逆元を載せるとホップ代数（ホップ双モノイド）なんですね。これで、ホップ代数のあの定義が必然的であることがやっと納得できました。チャンチャン。

*1:僕には、動機（下心）なしで一般論を勉強するような気力や志はないのです。

*2:んじゃ、最近はよく知っているのか？いえ、よく知りません。