計算（computations）が圏Cでモデル化できるとします。圏Cの対象は型で、圏Cの射は強く型付けされた関数（計算処理）だとしましょう。このモデルのなかで関手 F:C→C を関数（＝Cの射）で表現できるでしょうか？ できないですよ。だって、関手はCの外にあるものですからね。モデルであるCのなかに存在する関数が、Cの外の世界に飛び出ることはできません。
ところが、関数で関手を表現することは普通に行われています。なんか変ですね。カラクリがあるに違いない。探ってみましょう。
F:C→C が関手として、その対象部分（object part）をFobjとします。Fobj:|C|→|C| です。A, B∈|C| に対して、FA,B : C(A, B)→C(Fobj(A), Fobj(B)) とすると、FA,B は集合（ホムセット）のあいだの写像です。しかし、ホムセットはCの対象ではない*1ので、FA,B もCの射にはなっていません。
単なる圏ではこれ以上話を進めることができないので、Cをデカルト閉だと仮定します。対象AとBの指数を通常は BA と書きますが、これを [A, B] と書くことにします。[A, B] はCの対象となります。Cがデカルト閉であることから、C(A×B, C) ＝ C(A, [B, C]) が（同型の意味で）成立します。
/C/(A, B) := [A, B] と定義して、さらにナニヤラカニヤラすると、/C/はC-豊饒圏となります。「ナニヤラカニヤラ」の部分は「モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム」に書いてあります。/C/ とか [A, B] という記号は、「モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム」で使ったものです*2。
F:C→C という関手をC内で表現するには、Cそのものではなくて、C-豊饒圏/C/を使います。f:[A, B]→[A', B'] というCの射（写像ではありません）があると、「fによる後結合」を使って写像（Cの射ではありません） f#:C(1, [A, B])→C(1, [A', B']) in Set ができます。あとは、Cがデカルト閉であることを利用して、次のような変形をします。
C(1, [A, B])→C(1, [A', B'])
-------------------------------[左右両側に反カリー化]
C(1×A, B)→C(1×A', B')
-------------------------------[左右両側に直積の単位律]
C(A, B)→C(A', B')
結果的に、C([A, B], [A', B']) と Set(C(A, B), C(A', B')) の対応ができます。任意の関手 F:C→C のホムセット成分が、C([A, B], [A', B']) の射で表現可能かどうかわりませんが、C-豊饒圏のC-豊饒関手の文脈なら、F:/C/→/C/ over C は、Cの射の束＜たば＞で表現できます。
関手Fをホムセットごとに射で表現できても、関手の対象パートFobjはそうもいきません。圏の対象類 |C| = Obj(C) を圏Cの内部で表現する方法がないわけでもありません*3が、ここは素直にCの外にある写像 T:|C|→|C| を仮定します。すると、F:/C/→/C/ は次のような構成要素で表現できます。
- 写像 T:|C|→|C| （Fobjに相当）
- A, B∈|C| ごとに fA,B:[A, B]→[T(A), T(B)] in C
これらが、C内で定義された“/C/の結合と単位”と協調する条件（関手性）を満たせば、それは /C/→/C/ のC-豊饒関手となります。先ほど述べた対応 C([A, B], [A', B']) → Set(C(A, B), C(A', B')) を利用すれば、C→C の関手ともみなせます。
つまり、おおざっぱに言えば： デカルト閉圏であるならば、型構成子Tと総称関数fにより自己関手Fを表現できるのです。
*1:一般的には、そのようなことが保証できない、ということです。
*2:最近書いた「デカルト閉圏を計算するスタックマシン、シーケント計算、カリー／ハワード対応」とは少し記法が違います。[A, B] は B←A と同じ意味です。
*3:普遍対象（万能対象）と呼ばれる特別な対象Uがあれば、C全体を（したがって|C|も当然）C(U, U)に埋め込めます。
