「代数、モノイド、マグマ」において、双代数の一般的定義らしきものを出したのですが、いまいちハッキリしてない気がするので、もう少し補足説明をします。
この記事内では（ローカルルールとして）、「モノイド」は結合律と単位律を満たす代数系の意味、「代数」はより広く「なんらかの法則性を持つ（かも知れない）代数系」だとします。
[追記]双モノイドの実例は、「双モノイドの簡単な例 -- 自然数の足し算と余足し算」にあります。[/追記]
圏Cを固定して、F, Gが2つの自己関手（F = G でもかまいません）として、(A, a:F(A)→A) がF代数、(A, b:A→G(A)) がG余代数だとします。βが β::FG⇒GF:C→C という自然変換とします。ここで「FG」は、関手の反図式順の結合「Gの後にF」を意味するとします。僕は図式順が好きですが、ここでは慣例に従い反図式順を使います。
F代数とG余代数の組み合わせ (A, a, b) がFGβ双代数だとは、次の五角形が可換図式となることです。
「代数、モノイド、マグマ」で紹介したのは、F = G の場合で、つまりFFβ双代数ですが、FFをFと略記してFβ双代数と書きました。また、「代数、モノイド、マグマ」の可換図式はテキストで書いたので五角形らしくなかったですが、意味は同じです。
さて、通常の双モノイドを、今述べた意味での一般的な双代数の特殊例として説明します。モノイドは2つの指標関手（signature functor）と2つの演算、余モノイドは2つの余指標関手（cosignature functor）と2つの余演算を持ちます。これらをまとめて扱うのではなくて、2つの代数と2つの余代数で合計4つの系として扱います。このへんの事情を「代数、モノイド、マグマ」から引用すると：
直和がない圏では余タプルが使えないし、単一の指標関手／演算にまとめるのがいつでも便利とは限りません。F1(X) = 1, F2(X) = X×X のような2つの関手に分けて、同一の台対象上のF1マグマとF2マグマを考えて組み合わせたほうがいいときもあります。
モノイドの2つの演算を∇（乗法）とi（単位）とし、余モノイドの2つの余演算をΔ（余乗法＝余積＝対角）と!（余単位）とします。ベースとなる圏は対称モノイド圏だとして C = (C, □, 1, σ)、モノイド／余モノイドの共通台対象をAとすると：
- ∇:A□A→A
- i:1→A
- Δ:A→A□A
- !:A→1
記号「∇, i, Δ, !」は、絵算と相性がいいように選んであります。ちょっと悪乗りして、恒等idAをI（大文字アイ）、対称σA,AをX（大文字エックス）で表すことにします。
まずは、4つの双代数法則（bialgebra laws）を絵（picture）で描きましょう。
これらを等式*1で表せば以下のとおり。「;」は図式順結合、圏のモノイド積「□」は省略し空白で示します。絵と似せて記号を選んでおいたので対応を取りやすいでしょう。
- ∇;Δ = (Δ Δ);(I X I);(∇ ∇)
- i;Δ = i i
- ∇;! = ! !
- i;! = 1
最後の等式の右辺の1は、id1 の意味です。モノイド圏のモノイド単位1は、絵では空（何も描かないか点線）なので、「i;! = 」という書き方のほうがふさわしいでしょうが、右辺を書き忘れかと誤解されないように「1」と書いておきました。
この4つの等式は、五角形図式ではaとbとなっていた演算と余演算として、∇, i, Δ, ! を割り当て、五角形図式の可換性条件を書き下したものです。演算／余演算の組み合わせを列挙すると以下のとおり。
- 演算∇と余演算Δ
- 演算iと余演算Δ
- 演算∇と余演算!
- 演算iと余演算!
指標関手F／余指標関手Gと自然変換βも書き下してみます。以下で、τ:1□1→1 は単位律を1に適用して得られる同型で、定数関手のあいだの自然同型とみなします。
- F(A) := A□A, G(A) := A□A, [βA:(A□A)□(A□A)→(A□A)□(A□A)] := idA□σA□idA
- F(A) := 1, G(A) := A□A, [βA:1→1□1] := τ-1
- F(A) := A□A, G(A) := 1, [βA:1□1→1] := τ
- F(A) := 1, G(A) := 1, [βA:1→1] := id1
上記のセッティングで五角形可換図式をたどると、4つの双代数法則が得られます。
最後に気なることを： 双代数法則に出てくるβはどっから来るのでしょうか？ βの条件として次があります。
- F(b);βA:F(A)→GF(A) が、F(A)上のG余代数余演算となる。
- βA;G(a):FG(A)→G(A) が、G(A)上のF代数演算となる。
この条件でどこまでβが決まるのかは（僕には）よく分かりません。ベックの分配法則と類似の状況になっているようには思えますが。
*1:ほんとのイコールか同型かは気にしないことにします。
