「デジタルなモノイド」というエントリーのコメントでチラリと触れてますが、モノイドをストレージに対する操作（の集合）だと考えると、原子性（Atomicity）は次のように定式化できます。
Mをストレージ操作（のつもり）のモノイドとしましょう。Mの部分集合Aをアルファベットとする自由モノイドFreeMonoid(A)を作って、適当な合同関係（モノイド構造を保存する同値関係）〜 で割り算して N := FreeMonoid(A)/〜 とします。Nは、Mから作った新しいモノイドです。もとのモノイドMが状態空間Sに作用している（加群になっている）とき、Nを係数域とする加群を合理的に作る処方が原始性の話です。
任意の集合Xから、自由モノイドを作る操作 X|→FreeMonoid(X) は、リストモナドList(X)とほぼ同じです。リストモナドのモナド乗法である平坦化 flattenX:List(List(X))→List(X) が自由モノイドのモノイド演算を与えます（「アイレンベルク／ムーア圏 その2:リストモナドのとき」を参照）。このリストモナドに、commit/cancelの概念を入れると、原始性を記述するモナドが出来ます。そこから後は通常のモナドの議論が通用します。
次に分離性（Isolation）ですが、一番厳しい分離性であるSERIALIZABLE条件は、モノイド圏の交替律（interchange law）そのものです。トランザクションの実行主体であるプロセスとかスレッドを2つ考えて、それぞれが行う操作をf, gとしましょう。fとgが同時に実行されることをタプルを用いて [f, g] と表現します。何も行わないことはidとします。
交替律は：
- [f, g] = [f, id];[id, g] = [id, g];[f, id]
と書けます。これは、fとgの同時実行（[f, g]）が順次実行（[f, id];[id, g] または [id, g];[f, id]）と変わらないことを表現しています。ほんとに同時に実行しても、適当にインターリーブしてもかまわないということです。別言すれば、メモリ空間やストレージ領域が分離していれば、パラレル、コンカレント、タイムシェアリング、なんだって結果は同じよ、ってこと。
分離性のREPEATABLE READという条件は、余代数や余加群の余結合律（coassociative law）ですね。状態空間をSとして、観測値の集合をV、観測（エクリー）を q:S→S×V、Vのコピー操作を Δ:V→V×V とすると：
- q;(idS×Δ) = q;(q×idV)
これは、加群のスカラー乗法（モノイドの状態空間への作用）に関する結合律の双対です。この等式が言っていることは、クエリーしてコピー（2つの同じ値）を作っても、2回クエリーしても同じだということ。つまり、READのREPEATが可能で、同じ値であることを保証します。
交替律や余結合律はポピュラーな計算法則なので、それが成立していると何がうれしいか？ 成立しないとどう困るか？ 困ったときの回避策などの知見が蓄積されています。ストレージ操作にそういう知見が活かせないだろうか、活かせればいいな、と思っています。
