構造忘却関手

忘却関手とは何であるか？ を、一般的に定義するのはけっこう難しいことです。

• さまざまな忘却関手

ですが、構造を忘れる忘却関手なら定義できなくもないようです。

P. V. Golubtsov, S. S. Moskaliuk "Method of Additional Structures on the Objects of a Monoidal Kleisli Category as a Background for Information Transformers Theory" （http://arxiv.org/abs/math-ph/0211067） に、次のような定義が載っています。

1. ∀X, Y ∈ Ob(C) the map F : C(X, Y) → C'(F(X), F(Y)) is injective,
2. ∀X ∈ Ob(C), Y ∈ Ob(C') and an isomorphism u : Y → F(X) there is an object Y^~ ∈ Ob and an isomorphism u^~ : Y^~ → X such that F(Y^~) = Y and F(u^~) = u.

これは、「構造を忘れる」タイプの忘却関手の条件です。F:C→C' が構造忘却関手であるとは、Fが忠実関手であり（1番目の条件）、C'内の同型の余域がCに持ち上がるなら、同型全体がCに持ち上がる（2番目の条件）ことです。

位相空間を単なる集合とみなすとか、群をモノイドとみなすとかが構造忘却関手ですが、確かに上の条件は満たしていますね。