指数法則に類似のセクション公式

「コンストラクタやクローニングの表示的意味論：多オブジェクト系とフォック構成 (1)」の続きである「(2)」を書こうかと思ったんですが、「(2)」で使うであろう、ちょっとした公式を先に説明しておきます。

e^{x + y} = e^x×e^y という指数法則はご存知でしょう。eの右肩（指数）に乗った足し算が、右辺では掛け算になっています。exp(x) := e^x と置いて、少し一般化すれば次の公式になります。

• exp(x₁ + x₂ + ... + x_n) = exp(x₁)×exp(x₂)× ... ×exp(x_n)

この公式に類似した集合に関する同型を紹介します。

内容：

総和と総積

x₁, x₂, ..., x_n というn個の数があったとき（同じ値が重複して出現してもよい）、これらすべての和 x₁ + x₂ + ... + x_n を総和記号であるΣ（大文字シグマ）を使って次のように書きます。

• Σ_{i = 1 .. n}(x_i)

Σに対する下付きを使うのが面倒なので、次の書き方も許しましょう。

• Σ(i = 1 .. n | x_i)

さらに、I = {1, 2, ..., n} とすれば、

• Σ(i∈I | x_i)

と書けます。

同様に、x₁, x₂, ..., x_n をすべて掛け算した積 x₁×x₂× ... ×x_n を総積記号であるΠ（大文字パイ）を使って次のように書きます。

• Π_{i = 1 .. n}(x_i)
• Π(i = 1 .. n | x_i)
• Π(i∈I | x_i)

集合の総和と総積

X₁, X₂, ..., X_n は、数ではなくて集合の族だとします。つまり、n個の集合（同じ集合が重複して出現してもよい）が与えられているとします。

これらすべての集合の直和 X₁ + X₂ + ... + X_n も総和記号Σを使って書きましょう。なお、直和とは、互いに共通部分がないように必要ならコピーを作って合併することです。

• Σ_{i = 1 .. n}(X_i)
• Σ(i = 1 .. n | X_i)
• Σ(i∈I | x_i)

集合X_i達すべての直積 X₁×X₂× ... ×X_n もΠを使って書きます。

• Π_{i = 1 .. n}(X_i)
• Π(i = 1 .. n | X_i)
• Π(i∈I | X_i)

バンドルとセクション

今まで I = {1, 2, ..., n} としてきましたが、Iは任意の集合とします。{X_i | i∈I} は、Iを添字集合（インデックス集合）とする集合族とします。ただし、X_iは空ではないとしておきます。つまり、i∈I ごとに空でない集合X_iが割り当てられているのです。Iがどんな集合であっても、X_i達の直和は構成できるので、Σ(i∈I | X_i) は意味を持ちます。

E := Σ(i∈I | X_i) と置くと、y∈E とは、「k∈I が一意的に定まって y∈X_k」のことです。y∈E ごとにkが一意に決まるので、その対応をπ（小文字パイ）とすると、π:E→I という写像が定義されることになります。

E := Σ(i∈I | X_i) と π:E→I をバンドルと呼びます。バンドルはもともと幾何学的な概念ですが、位相的な条件を抜き去ると、ここでの定義となります。{X_i | i∈I} が与えられれば、π:Σ(i∈I | X_i)→I は自動的に作れるので、添字集合がIで空でないメンバーを持つ集合族とI上のバンドルは1:1に対応します（対応はup-to-isoですが）。

π:E→I がバンドルであるとは、結局のところ、πが全射であることと同じです。あえてバンドルと言うのは、i∈I ごとに π^-1(i) が“ファイバー”として生えているイメージを強調するためです。π:E→I に対して、写像 f:I→E が、f;π = id_I を満たすときセクションと呼びます。f(i)がπ^-1(i)に入っているような写像がセクションです。

Iを横軸、π^-1(i)達を長さが不揃いな縦軸の束＜たば＞だと考えると、点 (i, f(i)) 達は、普通の感覚で「関数のグラフ」に見えることになります。各縦軸ごとにグラフ上の点は一点だからです。

セクション集合と直積

一般に、π:E→I がバンドルのとき、このバンドルのセクションの全体を Γ(π:E→I)、あるいは（不正確だが）より簡単に Γ(E) と書きます。定義を繰り返すと： f∈Γ(E) とは、f:I→E で、f;π = id_I のことです。

Σ(i∈I | X_i) は、本来「添字集合がIで、空でないメンバーを持つ集合族の総和」を意味するものです。集合の総和の意味を少し拡張解釈して、π:Σ(i∈I | X_i)→I というバンドル構造も一緒に考えることにします。

Σ(i∈I | X_i) をバンドルと考えれば、そのセクション集合 Γ(Σ(i∈I | X_i)) が定義できます。f∈Γ(Σ(i∈I | X_i)) とは、fが、f(i)∈X_i であるような写像 f:I→Σ(i∈I | X_i) ということです。

指数法則に類似のセクション公式

前節の f∈Γ(Σ(i∈I | X_i)) の定義から、fはIを添字集合に持つタプルです。つまり、Γ(Σ(i∈I | X_i)) はタプルの集まりです。タプルの集まりを直積と呼ぶのでした。ですから、

• Γ(Σ(i∈I | X_i)) = Π(i∈I | X_i) （集合の同型の意味で）

和が積になるという点で指数法則に似てるでしょ。