Dを圏、XをDの対象として、X上のオーバー圏をD/X と書きます（D/Xと添字風に書くときもありますね）。D/X→D という関手を次のように定義します。
- D/X の対象 (u:S→X) にSを対応させる。
- D/X の射 (f:(u:S→X)→(v:T→X)) に f:S→T を対応させる。
要するに、基底対象Xの存在を忘れてしまうような関手です。
F:C→D を任意の関手として、余スパン (F:C→D←D/X) を考えます。この余スパンの右余脚は、さきほどの基底対象を忘れる関手です。圏の圏Catにおいて、この余スパンのファイバー積を具体的に構成する話があって、どうすればいいか僕は分からなかったのですが、次のように簡単に構成できるようです。
ファイバー積（プルバックの頂点）となっている圏をEとして：
- Eの対象は、A∈|C| と u:F(A)→X の組 (A, u)。
- Eの射 (A, u:F(A)→X)→(B, v:F(B)→X) は、f:A→B in C で、 F(f);v = u in D であるもの。
- (A, u:F(A)→X) の恒等射は、idA で作られる射。
- f:(A, u)→(B, v) と g:(B, v)→(C, w) の結合は、f;g で作られる射。
ファイバー積からの2つの射影も自明に(?)構成できます。
Eのような圏は、関手Fに相対的なオーバー圏となり、(F:C→D)/X と書かれます。混乱の恐れがないときは C/X とも書かれますが、常に混乱の恐れがありそうです。関手に相対的なオーバー圏は、基底の取り替えを一般的に論じるときに使われるようです。
