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参照用 記事

対象と射を関手と自然変換に格上げする方法

圏論の小ネタ記事をもうひとつ。

キュリアの絵算」より:

キュリアの方法(キュリアのオリジナルかどうかは分かりませんが)の特徴の1つは、自然変換の計算と射の計算を混ぜてしまうことです。最初は戸惑うのですが、慣れてしまうととても便利です。

自然変換の計算と射の計算を混ぜてしまう方法は、いくつかの点から魅力的な計算法です。絵(ストリング図)だけでなく、テキスト記法でも使えます。

発想は別に難しくはありません(気づくのは難しい)。自然変換 α::F⇒F をストリング図では次のように描きます。(面倒なのでアスキーアートで。)


F
|
(α)
|
G

ひとつの圏の内部の射 f:A→B は次のように描きます。


A
|
(f)
|
B

絵としては同じなので、だったら混ぜちゃえ、というわけです。混ぜるために、射のほうを自然変換に“格上げ”して、計算は自然変換の世界で行います。

問題は「どうやって格上げするか」です。この問題の解決には、単位圏から圏Cへの関手はCの対象と同一視できることを利用します。

単位圏/単元圏(unit category / singleton category)とは、対象が1つだけ、射もひとつだけの圏です。単位圏はしばしば1と書かれますが、記号イチが多用され過ぎなのでEと書くことにします。

  • Ob(E) = |E| = {E} (対象はEだけ)
  • Mor(E) = {idE} (射はidEだけ)

では格上げの説明をします。AがCの対象のとき、関手 A~:EC を次のように定義します。

  • A~(E) = A
  • A~(idE) = idA

これが関手になるのは明らかでしょう。

f:A→B がCの射のとき、自然変換 f~::A~⇒B~:EC を次のように定義します。

  • f~E = (f:A→B in C)

定義はこれだけです、Eの射はidEだけなので、自然変換の条件は、idE:E→E in E について調べれば終わりです。自明ですがやってみてください。

こうやって出来た自然変換 f~::A~⇒B~:ECアスキーアートで描きます。上付きやフォントの別は無視します。


A~
|
E (f~) C
|
B~

チルダをいちいち書かないことにすれば、


A
|
E (f) C
|
B

これは、Cの射を、EからCへの関手のあいだの自然変換と同一視したことになります。もともとfは、Cの内部にあったものですが、格上げして外に引っぱり出すと、関手と自然変換の計算の俎上に載せることができます。