豊饒プロ関手は豊饒な世界を提供するのか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

この事実の背後には大きなストーリーがありそうですが、個別事例としても面白いと思います。
冒頭で、「この事実の背後には大きなストーリーがありそう」と言いました。とはいえ、大きなストーリーはよく分かってません。

よく分かってないのだけど、「こんなんかも知れない」という現時点での感じをとりとめなく記しておきます。

内容：

行列計算の一般化
豊饒圏とプロ関手
ヒューズのアロー
垣間見えたり、見えなかったり

行列計算の一般化

「順序集合や距離空間も実はモノイドだった」の話は、特殊な圏を技巧的に使って、無理矢理な当てはめをしている印象があるかも知れません。そのような印象が生じる理由は、扱っている話題がミニチュア過ぎるせいだと思うのです。

もっと大規模な現象があって、極端に単純な一部を取り出しているのだろう、と。その大規模な現象を「大きなストーリー」と呼んだのです。ミニチュアによる実験結果と断片的な知識を、妄想で繋ぎ合わせると、大きなストーリーがおぼろげに浮かび上げる感じがします。

大きなストーリー＝妄想をひと言でいえば、豊饒プロ関手（enriched profunctor）の計算体系があるだろう、ということです。「順序集合や距離空間も実はモノイドだった」では、順序半環を係数域とする行列計算をベースにしましたが、もっと大規模な行列計算だって出来るはず。大規模つっても、100万列×100万行の行列とかって話じゃなくて、構造的階層の上位における計算ね。

どうもうまい言葉が見つからない。つまんない言葉で表現するなら、行列計算の一般化です。

豊饒圏とプロ関手

豊饒圏に関しては：

簡単な導入：モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム
チャンとした定義や関連トピック： enriched category in nLab

ちょっと言葉に関して；英語だと、-edと-ingを使って"enriched category"と"enriching category"の区別が出来るけど、日本語だと-ed, -ingみたいな区別ができないので、"enriching category"を意訳して豊饒化基礎圏とします。豊饒化基礎圏Vで豊饒化（enrichment）された圏をV-圏と呼びます。

モノイド圏Vを豊饒化基礎圏として、Xを対象の集合とする豊饒圏のホムは、X×X→V で与えられます。これは、半環Kを係数域とする正方行列 S×S→K と似てます。

特殊例	一般化？
係数の半環K	豊饒化基礎圏V
添字の集合S	対象の集合X
正方行列 S×S→K	豊饒圏 X×X→V

しかし、正方行列は掛け算が出来ますが、同じ対象集合X上の豊饒圏CとDがあっても掛け算が定義できません。

掛け算ができる“圏のようなもの”としてプロ関手があります。C, Dを普通の（ホムが集合である）圏だとして、プロ関手は、D^op×C→Set という二項関手（双関手）として定義されます。

profunctor in nLab

FがCからDへのプロ関手、GがDからEへのプロ関手のとき、FとGの結合（合成）は次の公式で計算します。

$(G \circ F)(e, c) = \int^{d : D}G(e, d) \times F(d, c)$

積分記号はコエンド（coend）と呼ばれる圏的演算で、無限和のようなものだと思ってかまいません。この公式は、形の上からは行列の積の公式と同じです。プロ関手が行列の一般化だと思って良さそうです。

プロ関手は集合圏Setを“係数域”に使ってますが、C, DがV-豊饒圏なら、Vを使って、D^op×C→V と定義するのが自然でしょう。次の一般化が考えられます。

特殊例	一般化
係数の半環K	豊饒化基礎圏V
添字の集合S	V-豊饒圏C
正方行列 S×S→K	V-プロ関手 C^op×C→V
Kの掛け算	Vのモノイド積
総和	コエンド
行列の掛け算	V-プロ関手の結合
行列のあいだの順序	V-プロ関手のあいだの自然変換

ヒューズのアロー

ヒューズ（John Hughes）によるアロー（Arrows; http://www.cse.chalmers.se/~rjmh/Papers/arrows.pdf）は、いろいろな解釈がありますが、"Arrows, like Monads, are Monoids" (Chris Heunen and Bart Jacobs)によれば、とある圏のなかのモノイドとみなせます*1。

とある圏とは、C^op×C→C という二項関手の圏です。この形になっているのは、Cが自分自身を豊饒化基礎圏としているからです。アローが、C^op×C→V（ただし、V = C）というV-プロ関手の圏のなかのモノイド対象の実例になります。

アローはモナドの一般化だと言われています。それは、圏Cの自己関手と自然変換の圏 Cat(C, C) が、圏Cの自己プロ関手と自然変換の圏 Prof(C, C) に埋め込めるからです。この埋め込みにより、Cat(C, C)内のモノイドであるモナドは、Prof(C, C)内のモノイドであるアローとして解釈できます。この事情は、S→S という写像が、添字集合Sのブール値正方行列（S上の関係）とみなせるのと同じです。

"What is a Categorical Model of Arrows?"でアトキー（Robert Atkey）は、アローはフレイド圏やその変種でモデル化できると言っています。また "Freyd categories are enriched Lawvere theories" (Sam Staton)は、フレイド圏が豊饒ローヴェル・セオリーだと主張しています。

アローがプロ関手の圏のなかに棲んでいる生き物だとすると、同種の存在物らしきフレイド圏／ローヴェル・セオリーもプロ関手の圏のなかで飼えるでしょう。

垣間見えたり、見えなかったり

プロ関手の圏（双圏）をProfとして、Set ： Rel = Cat ： Prof という“比例式”はよく指摘されます。さらに、Kを順序半環、Vをモノイド圏として、Set ： Rel ： K-Mat = Cat ： Prof ： V-Prof という“三項比例式”が成立しそうです。

K-Matは、K係数の行列の全体です。K-Matにおけるお馴染みの概念や計算がV-Profにおける対応物を持つだろうと期待できます。行列計算の係数域Kを変えると様相がガラリと変わるように、豊饒化基礎圏Vを変えると V-Prof も変わります。その変わり方は、係数域の取り替えと同じように、（余）インデックス付き圏の構造で制御されるでしょう。

「形式言語理論のための代数」で述べたように、オートマトン（ラベル付き遷移系）も行列とのアナロジーを持ちます。行列を中継して、オートマトンとプロ関手のアナロジーをたどると：

オートマトン	プロ関手
型式言語の代数	豊饒化基礎圏V
状態空間	V-圏
オートマトン	V-プロ関手
形式言語の包含順序	Vの射
オートマトンの順序	プロ関手のあいだの自然変換
状態空間のあいだの関係	V-圏のあいだの関手？
関係の転置	関手の随伴？
模倣	？
双模倣	？

模倣／双模倣あたりになるとナンダカ分かりません。

以上に述べたような“比例式”（対応）が正確である自信はありませんが、ミニチュアな実験結果から垣間見える向こうに大きなストーリーがあるのは間違いないと思えます。見えそうで見えない事が多いので、フラストレーションを感じますけど。

*1:[追記]Exequiel Rivas, Mauro Jaskelioff の http://www.fceia.unr.edu.ar/~mauro/pubs/Notions_of_Computation_as_Monoids.pdf (38p)にも、色々なモノイドの例があります。[/追記]