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参照用 記事

モノイド圏上の加群圏の実例

昨日の記事に実例がなかったのでそれを追加します。



いくつかの準備から:

FinSetを有限集合の圏とします。×は普通の直積、1 = {0} として、(FinSet, ×, 1, α, λ, ρ) はモノイド圏になります。α, λ, ρを具体的に書くと:

  • αA,B,Cは、((a, b) c) |→ (a, (b, c)) という写像
  • λAは、(0, a) |→ a という写像
  • ρAは、(a, 0) |→ a という写像

FdVectRは有限次元実ベクトル空間の圏です。以下、下付き添字のRは省略して、FdVectと書きます*1FdVectには、直和やテンソル積でモノイド積を入れることが多いですが、今はモノイド積は考えません。モノイド圏として扱うのはFinSetのほうです。

Aが有限集合、Vが有限次元ベクトル空間のとき、新しいベクトル空間MapSpace(A, V)を次のように定義します。

  • 集合としてのMapSpace(A, V)は、AからVへの写像(関数)の全体である。
  • Vの足し算とスカラー乗法から、MapSpace(A, V)の足し算とスカラー乗法を定義する。

上記の定義から、MapSpace(A, V)はFdVectの対象(つまり、有限次元ベクトル空間)になります。



では、モノイド圏上の加群圏を定義しましょう。

C = (FinSetop, ×, 1, α, λ, ρ) とします。CFinSetと同じですが、射の向きはひっくり返しておきます。モノイド構造はひっくり返しても変わりません。ひっくり返すのは技術的な理由でたいした意味はありません。そして、D = FdVect とします。Cはモノイド圏、Dは単なる圏と捉えます。

二項関手 \odot:C×DD を定義しましょう。

  • A∈|C|, V∈|D| に対して、A\odotV := MapSpace(A, V) ∈|D|

f:A→B in C、ψ:V→W in D に対して、f\odotψ:A\odotV→B\odotW は次のように定義します。

  • f:A→B in C とは、f':B→A in FinSet なので、x∈MapSpace(A, V) に対して、x|→f';x;ψ という写像を定義すると、これはMapSpace(B, W)に入る。(f\odotψ)(x) := f';x;ψ として、f\odotψ : MapSpace(A, V)→MapSpace(B, W) を定義する。

次の同型は容易に構成できるでしょう。

  • α'A,B,V : (A×B)\odotV → A\odot(B\odotV)
  • λ'V : 1\odotV → V

マックレーンの五角形・三角形も具体的に確認できます。

有限集合をコンパクト領域、有限次元ベクトル空間をバナッハ空間に拡張した例は、次に記事に書いてあります。

僕が加群圏にちょっと興味をいだいたのは、変則的なラムダ計算のモデルとして加群圏が使えないかな? と思ったからです。思っただけで、よく分かってません*2

*1:係数体は何でもいいですけどね。

*2:加群圏だけでは、ラムダ計算するには弱い気がします。