モノイド圏上の加群圏の実例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

昨日の記事に実例がなかったのでそれを追加します。

いくつかの準備から：

FinSetを有限集合の圏とします。×は普通の直積、1 = {0} として、(FinSet, ×, 1, α, λ, ρ) はモノイド圏になります。α, λ, ρを具体的に書くと：

α_A,B,Cは、((a, b) c) |→ (a, (b, c)) という写像。
λ_Aは、(0, a) |→ a という写像。
ρ_Aは、(a, 0) |→ a という写像。

FdVect_Rは有限次元実ベクトル空間の圏です。以下、下付き添字のRは省略して、FdVectと書きます*1。FdVectには、直和やテンソル積でモノイド積を入れることが多いですが、今はモノイド積は考えません。モノイド圏として扱うのはFinSetのほうです。

Aが有限集合、Vが有限次元ベクトル空間のとき、新しいベクトル空間MapSpace(A, V)を次のように定義します。

集合としてのMapSpace(A, V)は、AからVへの写像（関数）の全体である。
Vの足し算とスカラー乗法から、MapSpace(A, V)の足し算とスカラー乗法を定義する。

上記の定義から、MapSpace(A, V)はFdVectの対象（つまり、有限次元ベクトル空間）になります。

では、モノイド圏上の加群圏を定義しましょう。

C = (FinSet^op, ×, 1, α, λ, ρ) とします。CはFinSetと同じですが、射の向きはひっくり返しておきます。モノイド構造はひっくり返しても変わりません。ひっくり返すのは技術的な理由でたいした意味はありません。そして、D = FdVect とします。Cはモノイド圏、Dは単なる圏と捉えます。

二項関手 $\odot$ :C×D→D を定義しましょう。

A∈|C|, V∈|D| に対して、A $\odot$ V := MapSpace(A, V) ∈|D|

f:A→B in C、ψ:V→W in D に対して、f $\odot$ ψ:A $\odot$ V→B $\odot$ W は次のように定義します。

f:A→B in C とは、f':B→A in FinSet なので、x∈MapSpace(A, V) に対して、x|→f';x;ψ という写像を定義すると、これはMapSpace(B, W)に入る。(f $\odot$ ψ)(x) := f';x;ψ として、f $\odot$ ψ : MapSpace(A, V)→MapSpace(B, W) を定義する。

次の同型は容易に構成できるでしょう。