随伴系の書き方

F:C→DとG:D→C が随伴関手対で、Fが左随伴、Gが右随伴のとき、僕はこの事を次のように書いています（「圏論の随伴をちゃんと抑えよう // 随伴系の書き方と事例」参照）。

• F -| G:D→C

逆ターンスタイル記号'-|'を使うのは一般的です。しかし、その後に書く圏と矢印の書き方は色々あります。

1. C→D
2. D→C
3. C←→D
4. D←→C

僕と反対方向の記号や用語を使う人はもちろんいます。例えば：

• Title: KAN EXTENSIONS AND NONSENSICAL GENERALIZATIONS
• Author: ADAM ANDERSON
• Pages: 7p
• URL: http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALAPP/Anderson.pdf

同じセッティングでも、「CからDへの随伴」と呼んでいます。

ところで、「圏論の随伴をちゃんと抑えよう」で、随伴の主役はC, D, F, Gではなくて、単位ηと余単位εだと言いました。η, εも添えた書き方をしている人もいますね。

• Title: COMPLETION, CLOSURE, AND DENSITY RELATIVE TO A MONAD, WITH EXAMPLES IN FUNCTIONAL ANALYSIS AND SHEAF THEORY
• Author: RORY B. B. LUCYSHYN-WRIGHT
• Pages: 33p
• URL: http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/29/31/29-31.pdf

ただし、逆ターンスタイルにη, εを埋め込んだ記号を使うのは難しいので、代替案としては次のようかな。

• (η, ε): F -| G :D→C

これで、随伴系を構成する構成要素は全部記述しています。主役が明示されている点がいいです。

随伴系がホムセット同型で与えられるときは、

• Φ: F -| G :D→C

これは、次の自然同型（可逆自然変換）があることを意味します。

• Φ_A,X:D(F(A), X)→C(A, G(X))

省略して書くなら、(η, ε)やΦではなくて、むしろC, Dを省略すべきでしょう。

• (η, ε): F -| G
• Φ: F -| G

[追記]更新された随伴系の書き方は「随伴に関する注意事項」参照。[/追記]