微分幾何の特殊な習慣 -- 知らんかった - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「郷に入っては郷に従え」という諺がありますが、従うべき郷の習慣を知らないと、何がなんだかサッパリ分からなかったり、とんでもない誤解をしたりします。

内容：

微分幾何の習慣は知らない
特別な意味の文字
dsって何だろう
接ベクトル場、余接ベクトル場
内積場、ノルム場
内積場／ノルム場の表示
ノルム場がdsだった
習慣の由来は

微分幾何の習慣は知らない

添字をたくさん使うテンソル計算と、そんなテンソル計算を使う微分幾何は、早い段階で「やってられん！」と投げ出しました。そこらへんの事情は昔書いたことがあります。

テンソル：定義とか周辺の話とかナニやら

後になって、ネルソン〈Edward Nelson〉の本で少し勉強しました。

テンソル：定義とか周辺の話とかナニやら // ネルソンの本

ネルソンの本はモダンですが、ネルソンが考案した記法で書かれていて、伝統的な微分幾何とはだいぶ違います*1。

そんな事情で、伝統的な微分幾何では常識であっても、僕はまったく知らないことが多々あります。

特別な意味の文字

特定の文字が、固有名詞として特定の対象物を指すことは珍しくありません。ギリシャ文字・小文字'π'は円周率を表します。ラテン文字・小文字'e'はネイピア数ですね。もちろん、この約束が破られることもあります。正確に言えば、特定の分野や文脈において、特定の文字が、固有名詞として特定の対象物を指すことがある、です。

微分幾何にけるラテン文字・小文字's'、物理の相対論におけるギリシャ文字・小文字'τ'が、そのような特別な意味を持つ文字だったようです（知らなかった）。s, τは、「特定の対象物を指す」というより、「特別な使い方の習慣がある」ということです。ほんとに特別なんです。なかなか推測は出来ないので、知ってないとアウトだと思います。

以下では、ラテン文字・小文字's'の特別な使い方の習慣を話題にします。実は、's'については「そう言えば、そんな習慣あったな」くらいの記憶はあるのですが、'τ'についての習慣はまったく知らなかったので、ホントに何がなんだかサッパリ分からなかったです*2。

dsって何だろう

多様体を持ち出すと面倒なので、関数やベクトル場を考える領域は、Rⁿの開部分集合Uに限定します。なんなら、n = 2 とか n = 3 に次元を固定してもいいです。

's'について特に何も知らないとして、ds と書かれていたら、どう解釈するでしょう？僕は、dは微分（外微分）と思うので、sは関数 s:U→R で、それを微分してdsなんだ、と解釈します。dsは、U上の1次微分形式（の場）ですね。

ds² ならどうでしょう？ d(s²) とは考えにくいので、(ds)(ds) と解釈します。dsの併置（並べること）は、なんらかの掛け算でしょう。1次微分形式には自然な掛け算があります。αとβが1次微分形式だとして、

(αβ)(v) = α(v)β(v) （右辺の併置は実数値関数の普通の掛け算）

ここで、vはU上の接ベクトル場です。Uの一点pで考えるならば、

(αβ)_p(v_p) = α_p(v_p)β_p(v_p) （左辺の併置は実数の普通の掛け算）

ds² とは、たぶんそんなもんだろう、と思いますよね。実際はまったく違うんですわ。

接ベクトル場、余接ベクトル場

Uの一点pでの接ベクトルの全体を T_pU と書きます。U⊆Rⁿ なので、T_pU $\stackrel{\sim}{=}$ Rⁿ です。点pごとに、T_pU の要素（つまり接ベクトル）を割り当てる写像が接ベクトル場です。接ベクトル場vは、v:U→Rⁿ と考えてかまいません（あくまで U⊆Rⁿ, T_pU $\stackrel{\sim}{=}$ Rⁿ だからです）。点pでのvの値は、v(p)ではなくてv_pと書くことにします（後で理由は分かるでしょう）。

T_pU の標準双対空間を T^*_pU と書きます。

T^*_pU := (T_pU)^*

T^*_pU の要素を、点pにおける余接ベクトルといいます。点pごとに、T^*_pU の要素（つまり余接ベクトル）を割り当てる写像は余接ベクトル場です。余接ベクトル場αは、α:U→(Rⁿ)^* と考えてかまいません。しかし、(Rⁿ)^* とRⁿを同一視することはしません。点pでのαの値は、α(p)ではなくてα_pと書くことにします。余接ベクトル場の一点での値α_pは、T_pU→R という線形写像です。

余接ベクトル場と1次微分形式はまったく同じ概念です。ここから先は、「余接ベクトル場」のほうを使います。

α:U→(Rⁿ)^* が余接ベクトル場、v:U→Rⁿ が接ベクトル場のとき、

U∋p |→ α_p(v_p) ∈R

は、U上の実数値関数、つまりスカラー場になります。点引数pを下付きにしたのは、α(p)(v(p)) だとちょっと分かりにくいからです。

内積場、ノルム場

Uの点pごとに、接ベクトル空間T_pUに内積が入っているとします。点pにおける内積を (-|-)_p と書きます。ハイフン'-'は無名変数です。(-|-)_p:T_pU×T_pU→R で、(-|-)_p は内積の公理を満たす双線形写像です。

U∋p |→ [内積 (-|-)_p:T_pU×T_pU→R]

これは、点pごとに内積を割り当てているので、内積場という言い方をしてもいいでしょう。普通は、内積場とは言わないで計量場ですけど。

v, w:U→Rⁿ が2つの接ベクトル場のとき、

U∋p |→ (v_p|w_p)_p ∈R

はスカラー場です。内積場があれば、2つの接ベクトル場を内積してスカラー場を得ることができます。例えば、(v_p|w_p)_p がpによらず恒等的に0なら、「vとwは直交する接ベクトル場だ」とか言えます。

接ベクトル場 v:U→Rⁿ に対して、

U∋p |→ sqrt((v_p|v_p)_p) ∈R

と定義すると、これは、各点pでの接ベクトルの長さを与えることになります。長さはノルムとも言うので、p |→ sqrt((v_p|v_p)_p) という割り当てをノルム場と呼びましょう。点pでのノルムは |-|_p と書きます。この記法を使ってノルム場を次のようにも書けます。

U∋p |→ [ノルム |-|_p:T_pU→R]

接ベクトル場 v:U→Rⁿ に対するノルム |v| は、次のようなスカラー場（U上の実数値関数）になります。

U∋p |→ |v_p|_p ∈R

内積場／ノルム場の表示

v:U→Rⁿ をU上の接ベクトル場とします。成分表示して、

v = (v₁, ..., v_n)

とします。横ベクトル形式で書いてますが、実際は縦ベクトル形式なんだと思ってください。vの転置 v^T が横ベクトル形式です。点pごとの値は、

v_p = (v_p₁, ..., v_p_n)

v_p_i と書くか、v_i_p と書くか悩みますが（どっちでもいい）、この形式にします。

U上の内積場 p |→ (-|-)_p を具体的に定義するとき、点pごとにn×n行列を与えればいいですね。Gがそのような行列の場だとします。

G:U→Mat(n, n)

ここで、Mat(n, n)はn×n行列の空間です。この行列場Gを使って、

(v_p|w_p)_p := (v_p^T)G_pw_p

と内積の値を定義できます。n = 2 の場合をもっと具体的に書けば：

$(\begin{pmatrix}v_{p\, 1} \\ v_{p\, 2}\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}w_{p\, 1} \\ w_{p\, 2}\end{pmatrix})_p \: :=\: \begin{pmatrix}v_{p\, 1} & v_{p\, 2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G_{p\, 1 1} & G_{p\, 1 2} \\G_{p\, 2 1} & G_{p\, 2 2} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_{p\, 1} \\ w_{p\, 2}\end{pmatrix}$

対応するノルム場は、

|v_p|_p := sqrt((v_p^T)G_pv_p)

n = 2 の場合のノルム場は、

$\|\begin{pmatrix}v_{p\, 1} \\ v_{p\, 2}\end{pmatrix}\|_p \: :=\: \sqrt{\begin{pmatrix}v_{p\, 1} & v_{p\, 2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G_{p\, 1 1} & G_{p\, 1 2} \\G_{p\, 2 1} & G_{p\, 2 2} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{p\, 1} \\ v_{p\, 2}\end{pmatrix}}$

上記のルート内を展開して書いてみます。ここから先では、下付きpが煩雑なので省略します。点pごとではなくて、U全体に対して記述していると思ってください。

$\|\begin{pmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{pmatrix}\| \: :=\: \sqrt{G_{1 1}v_1 v_1 + G_{1 2}v_1 v_2 + G_{2 1}v_2 v_1 + G_{2 2}v_2 v_2}$

あるいは両辺を二乗して：

$\|\begin{pmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{pmatrix}\|^2 \: :=\: G_{1 1}v_1 v_1 + G_{1 2}v_1 v_2 + G_{2 1}v_2 v_1 + G_{2 2}v_2 v_2$

一般的な次元nでは：

$| v |^2 \: :=\: \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}v_j v_i$

ここで、vは接ベクトル場、Gは行列場ですが、添字が付いた G_ji, v_j, v_i 達はスカラー場です。

ノルム場がdsだった

前節のノルム場をNという1文字で表すことにします。

$N(v) \: :=\: sqrt{\sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}v_j v_i}$

ノルム場Nの二乗はN²とします。

$N^2(v) \: :=\: N(v)^2 \;=\; \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}v_j v_i$

内積場やノルム場を、dx_i を使って書く場合もあります（それが普通）。

$N^2 \::=\: \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}dx_j dx_i$

これは、完全に合理的な記法です。なぜなら、dx_iは余接ベクトル場で、ベクトル場vに対して dx_i(v) = v_i と成分を取り出す働きがあるからです*3。

$N^2(v) \:=\: (\sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}dx_j dx_i)(v) \:=\: \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}dx_j(v) dx_i(v) \:=\: \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}v_j v_i$

辻褄が合ってますね。

辻褄が合わなくなるのはここからです。ノルム場Nを、dsと書く習慣があるのです。ノルム場の二乗N²ならds²です。

$ds \::=\: \sqrt{\sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}dx_j dx_i}$
$ds^2 \::=\: \sum_{1 \le i, j \le n}G_{j i}dx_j dx_i$

dsをdとsに分解してはダメです。s自体に意味があるわけではなくて、'ds'を単一の記号とみなして、それはノルム場を表すために予約されていると解釈します。sは関数ではなく、dsは余接ベクトル場〈1次微分形式〉ではありません。ノルム場（またはその二乗）の定義式を見て、「sは何だろう？」「sはどこから来たのだろう？」「sの正体は？」とか考えるのはまったくのナンセンスです。だって、単なる習慣的記法だもの。

それ相応の文脈があれば誤解はないでしょうが、ノルム場の具体的な定義として、 ds = (なんか具体的な式) という等式がポンと出されると、「sを微分したのが (なんか具体的な式) なのね」てなことになります。で、ワケワカメ状態。

習慣の由来は

ノルム場をdsと書くようになった由来は、割と容易に想像がつきます。弧長パラメータという概念があり、その弧長パラメータをsと書く習慣があります。無限小な弧長だから「d（無限小） + s（弧長）」となったのでしょう。

「sという関数にdという作用素を適用した」のではなくて、「無限小弧長」を表す符丁だったんですね。ほぼ固有名詞みたいなもんです。

この特殊な用法でのdsを、「線素」とも呼ぶようです。「線素」という言葉は聞いたことがありますが、「線」が1次元のモノを意味し、「素」が無限小で、「線素＝接ベクトル」だろうと僕は解釈していました。「線素＝接ベクトルの長さ＝無限小弧長」という意味もあるんですね。

理解を妨げたり、誤解を招く言葉や記法というのは、いたるところにあって落とし穴になるのですが、僕も落とし穴にマンマと落とされました。

dsはdとsに分解しない。単なる習慣的記法。s単独で意味などない

[追記]これ(↑)は言い過ぎかな。'd'と's'に分解した上で、それぞれ単独での意味は、探せば在りますね、解釈法を変えれば。'd'を微分（外微分作用素）と解釈している限りは's'に意味を持たせられない、ということです。[/追記]
[さらに追記]この記事の修正はしませんが、言い過ぎに対する補正をするために続きの記事を書きました。