インデックス付き圏〈indexed category〉の定義を弱く（ゆるく）して、ファイバー付き圏〈fib(e)red category〉と同値な定義を得ます。
内容：
ファイバー付き圏とインデックス付き圏
ファイバー付き圏の定義の方法が二通りあります。
- 射影関手 P:E→B を使う方法。
- Bを添字圏〈indexing category〉とする圏の添字族〈indexed family of categories〉を使う方法
二番目の添字族〈インデックス族〉を使う方法として、インデックス付き圏があります。しかし、インデックス付き圏の定義が強すぎる（きつすぎる）ので、射影関手を使う方法と同値にはなりません。
射影関手を使う方法と同値になるように、インデックス付き圏の定義をゆるめましょう。ゆるいインデックス付き圏をストライプ図で表す方法も示します。
2-関手として考える
2次元の圏と関手に関する概念と用語は、次の記事を見てください。
ここで使う基本的なアイデアは、「インデックス付き圏を2-関手と考える」という発想です。2-関手は、2-圏のあいだの関手です。KとLを2-圏として、F:K→L が2-関手です。しかし、インデックス付き圏やファイバー付き圏では、一般的な2-関手を扱うわけではなくて、次のようなものに限定します。
- 2-関手Fの域圏は、1-圏（普通の圏）を“等式を2-射として2-圏とみなしたもの”。
- 2-関手Fの余域圏は、圏の圏。
Cを1-圏、“等式を2-射として2-圏とみなしたC”を C= と書くことにすると、我々が相手にする関手は、次の形のものです。
- F:C=→Cat in s2-CAT
ここで、s2-CATは、必ずしも小さくない厳密2-圏の圏です。C= ∈ |s2-CAT|, Cat ∈ |s2-CAT| であり、Fはs2-CATの射のひとつです。圏のサイズの問題がありますが、今は気にしないことにします。
2-関手には色々な種類がありますが、Fがタイト2-関手である場合を考えます（タイト2-関手については「高次圏： 用語法と文脈（主に2次元）」参照）。タイト2-関手は、ストライプ図により描きます。
ストライプ図については、次を参照してください。
ストライプ図は、もともとはモノイド圏のあいだのモノイド関手を描くための図法ですが、2-圏／2-関手に対しても使えます。次の対応を心に留めておくと分かりやすいでしょう。
| 一般の2-圏 | 2-圏とみなした圏 | モノイド圏 |
|---|---|---|
| 0-射 | 対象 | ダミー元 |
| 1-射 | 射 | 対象 |
| 2-射 | 射の等号 | 射 |
| 1-射の結合 | 射の結合 | 対象のモノイド積 |
| 2-射の縦結合 | 等式の推移律 | 射の結合 |
| 2-射の横結合 | 等式と結合の関係 | 射のモノイド積 |
ストリング図とストライプ図
圏の圏Catは厳密2-圏なので、その対象／射／2-射はストリング図で描けます。次のように描画します。
| Catの構成素 | 描画の手段 |
|---|---|
| 対象＝圏 | 面＝エリア |
| 射＝関手 | 線＝ワイヤー |
| 2-射＝自然変換 | 点＝ノード |
| 射の結合＝関手の結合 | ワイヤーを横に並べる |
| 2-射＝自然変換の縦結合 | ノードを縦に並べる |
| 2-射＝自然変換の横結合 | ノードを横に並べる |
ボアンカレ双対をとるので、次元は反転します。
次に、普通の圏Cを厳密2-圏とみなしたC=での描画です。
| Catの構成素 | 描画の手段 |
|---|---|
| 対象 | 面＝エリア |
| 射 | 線＝ワイヤー |
| 2-射＝等式 | ワイヤー上の点 |
| 射の結合 | ワイヤーを横に並べる |
| 2-射＝等式の縦結合 | 縦に並んだワイヤー上の点 |
| 2-射＝等式の横結合 | 横に並んだワイヤー上の点 |
2-射を明示的に描くことはありません。射を表すワイヤー上の任意の点が2-射を表すとみなせます。
ストライプ図のストライプは関手を表しますが、ストライプの内部にはエリア（対象を表す）とワイヤー（射を表す）が入り、明示的なノードはありません。ストライプの外部には、自然変換を表すノードが現れますが、次のように自然変換をドットで略記します。
この絵に描いてあるモノは、成分表示すると
- αA,B,C:F(f;g)→F(f)*F(g) in Cat （'*'は関手の図式順結合記号）
となる変換αです。αを小さなドット（赤丸）で表してもいいとします。
タイト2-関手
C=からCatへのタイト2-関手を考えますが、習慣により反変関手を扱います。反変関手の描画は、特に何もしなくて、描かれているワイヤーの方向を、C=のホントの方向とは逆なんだ、と解釈するだけです。
タイト2-関手（反変関手）は、対象／射／2-射の対応を与えるFと、ゆるめた関手性（の法則）を表す自然同型（成分が可逆な自然変換）τとεにより与えられます。
まず、C=の0-射（対象）、1-射（射）、2-射（等式）を、Catのk射に移す写像です。
Catの対象（圏）F(A)を、Aにオーバーライン で書きます。面が面に対応している図です。1-射と2-射は、対応を表すストライプ（青、水色）で包んで描きます。2-射は、f = f ::f⇒f:A→B in C という等式です。
次に、F(f;g) F(f)*F(g) という対応を与えるτと、F(idA)
idF(A) という対応を与えるεです。
τとεは、結合律と左右の単位律を満たします。（絵がナナメっています。描くとき、紙が斜めの位置だったんです。）
これで、タイト2-関手 (F, τ, ε) の記述は終わりです。ストライプ図の代わりに、可換図式や等式で表現することもできます。翻訳作業はルーチンでつまらないので割愛します。
ファイバー付き圏の構成
前節で定義したタイト2-関手 F:C=→Cat in 2s-CAT において、τ, ε が等式の場合、つまり2-関手が厳密〈ストリクト〉な場合が通常のインデックス付き圏になります。
タイト2-関手Fは、A∈|C| ごとに圏F(A)が割り当てられているので、|C|を添字集合とする圏の添字族といえます。圏F(A)をまとまあげた圏Eを作って、P:E→C という射影関手を構成できます。この構成は、インデックス付き圏ではお馴染みのグロタンディーク構成の拡張版です。
この辺のことを知るには、今から14年前に紹介したことがあるアンジェロ・ヴィストリのテキスト（解説論文）を拾い読みするといいかもしれません。
- Title: Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory
- Author: Angelo Vistoli
- Pages: 114p
- URL: https://arxiv.org/abs/math/0412512
- URL: http://homepage.sns.it/vistoli/descent.pdf (PDF)
14年前の記事：
- 見つけもの：Angelo Vistoliのていねいな論文 (2005年3月31日)
続きが「14年ぶりにファイバー付き圏」にあります。
