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参照用 記事

層に関してちょっと 2: 層化

層に関してちょっと」にもうちょっと付け足し。

層ではない前層はいくらでもあります。どんな前層(関手)でも層(貼り合わせ可能関手)にしてしまう操作が層化です。前層を層化するには、いったん位相空間を作りますが、この位相空間がどうも分かりにくいんですよ。通常より広い枠組みのなかで眺めると、少しは分かった気になるかも知れません。

「ちょっと」の割には長めの記事になりましたね(笑)。

内容:

状況設定と茎・芽

状況設定は「層に関してちょっと」と同じです。

  • Bは、忠実関手 U:BTop を持つ圏。例:B = ManManはなめらかな多様体の圏。
  • X∈|B| に対して、Open(X) は、Xの開集合達の順序集合を圏とみなしたもの。
  • X∈|B| に対して、C-PSh[X] := [Open(X)op, C] (関手圏)
  • X∈|B| に対して、C-Sh[X] は、貼り合わせ可能性条件を満たす前層(それを層と呼ぶ)からなる C-PSh[X] の充満部分圏。つまり、C-Sh[X] ⊆full C-PSh[X] 。

前層/層のターゲット圏Cを固定はしませんが、適切な極限・余極限(特にフィルター極限・余極限〈filtered limit/colimit〉)を持たないと色々な構成ができないので、必要に応じた極限・余極限の存在は仮定します。([追記]読み返したら、Cは集合ベースの圏にだいたい“固定”してます。[/追記]

極限・余極限を使った構成の例として、前層の茎を挙げておきます。AはX上の前層(Open(X) 上の反変関手)だとして、x∈X とします。このとき、

  • colimx∈U A(U) (U∈|Open(X)|)

という余極限を、点xにおける前層Aの〈stalk | トーク〉といい、Ax と書きます。ここで使っている余極限は、x∈U であるXの開集合からなる順序集合に関して取ります。よって、Cでそういう余極限が取れないと茎は定義できません。ターゲット圏Cが集合圏やアーベル群の圏なら大丈夫ですね。

Cが、「要素」という概念を持つなら(すべての圏が適切な要素概念を持つわけではない)、茎(と呼ばれる極限対象)の要素を〈germ | ジャーム〉と呼びます。Cが構造付き集合の圏なら、茎が集合で芽がその要素となります。

C = Set として議論するなら、前層Aの点xにおける茎Axは次のように定義できます。

  •  A_x := (\coprod_{U\in |Open_x(X)|} A(U))/\sim

ここで、Openx(X) は x∈U となる開集合からなる、Open(X)の充満部分圏、~ は同値関係で、

  • a∈A(U), b∈A(V) が a ~ b :⇔ W⊆U, W⊆V である W∈|Openx(X)| が存在して、a|W = b|W

a|W, b|W は、前層の制限〈restriction〉を短く書いたものです。同値関係 ~ の同値類が芽になります。a∈A(U) に対する Ax の要素(aの芽)を [a]x と書きます。a \mapsto [a]x は、商集合への射影(の一部) A(U)→Ax です。

[補足]商集合としてのAxへの射影をちゃんと記述してみます。記法の簡略化のために、次の約束をします。

  •  \sigma_x(A) := \coprod_{U\in |Open_x(X)|} A(U)

a∈σx(A) ならば、[a]x∈Ax を定義できます。この対応 a \mapsto [a]x を pxx(A)→Ax とします。このpxが、点xにおける射影です。x周辺で意味を持つaに対して、xでの芽(同値類)を対応させます。

x∈U ならば、A(U)⊆σx(A) なので、pxをA(U)に制限すると、すぐ上の A(U)→Ax になります。[/補足]

いま定義した茎〈ストーク〉と芽〈ジャーム〉は、前層を層化する際の基本的な道具になります。

得体が知れないジャーム空間

ここから先、前層/層のターゲット圏は集合圏か、または構造付き集合(台集合を持つ対象)の圏だとします。集合論的構成はすべて使えるとします。

Xがなめらかな多様体で、開集合 U⊆X に対するA(U)が、なめらかな実数値関数の集合だとします。このとき、芽や茎は自然な意味を持ちます。一点 x∈X の周りにおける関数の挙動を調べるとき、xの開近傍Uだけで見れば十分です。つまり、A(U)を考えればいいのです。が、Uより小さいVでA(V)を考えてもかまいません。結局、茎Axを考えればいいことになります。

茎Axを定義するには、開近傍Uを、一点集合{x}にドンドン近づけた極限を取っています(これ、ドンドン論法だが)。その極限は、いわば、点xの無限小近傍と言っていいでしょう。となると、Axは、無限小近傍で定義された関数の集合になります。x∈U, a∈A(U) に対する同値類 [a]x∈Ax は、関数の無限小部分を取り出していることになります。

関数(R値関数)fの、一点xでの微分係数導関数の値)は、fのx周辺での挙動にしか関係しません。xの無限小近傍の挙動で微分係数が決まると言えます。であるなら、xでの微分係数を取る作用素は、茎Axで定義されているとみなすのが自然でしょう。言い方を換えると、fのxでの微分係数は、fの芽 [f]x に対して決まるのです。

このように考えると、芽の集合である茎Axは、割と自然な概念に思えます。一点での芽だけではなくて、あらゆる点における芽を寄せ集めます。

  •  G(A) := \coprod_{x\in X} A_x

G(A)を、前層Aの芽空間〈germ space〉またはジャーム空間と呼ぶことにしましょう。ジャーム空間G(A)は、単なる関手である前層Aから、点ごとの無限小情報を絞り出して寄せ集めたものです。G(A)は、いわば、無限小情報の完全なデータベースです。

G(A)の要素は、適当な a∈A(U) と x∈U によって、[a]x の形に書けます。[a]x は同値類なので、別な b∈A(V) を使って [b]x とも書けるでしょう。Aに関するあらゆる無限小情報の集まりであるG(A)も、それほど分かりにくくはないと思います。

[補足]ジャーム空間G(A)は、\(\coprod_x A_x\) と書けました。茎〈ストーク〉の寄せ集めですね。各茎には、前の補足で述べた射影 pxx→Ax があります。これらの射影を寄せ集めると、次の写像を定義できます。

  •  p:\coprod_{x\in X}\sigma_x \rightarrow \coprod_{x\in X} A_x

 \coprod_{x\in X}\sigma_x は、\( (\coprod_{U\in |Open(X)|} A(U))\times X \) の部分集合としても実現できます。a∈A(U) ⇔ def(a) = U として、

  • \( \{(a, x) \in (\coprod_{U\in |Open(X)|} A(U))\times X | x \in def(a)\} \)

[/補足]

G(A)は、いまのところ単なる集合ですが、これに位相を入れます。Xの開集合Uと、A(U)の要素aでインデキシングされた集合族

  • For U∈|Open(X)|, a∈A(U), βU, a := {[a]y∈G(A) | y∈U}

を、基本的な開集合の族として生成される位相を考えます。

G(A)の部分集合の族が与えられれば、それから最小の位相は作れるので、定義に何の問題もないのですが、でき上がる位相空間がとても分かりにくいのです。少なくとも僕は、この空間を把握できなくて難儀しました(今もよく分からない)。

G(A)の点(芽)[a]xに対して、集合βU, aは[a]xの開近傍となるので、一点の開近傍の形はXの開集合と同じです。しかし、G(A)全体としては何だか得体の知れない奇妙な空間です。奇妙に感じる理由は、G(A)が(多くの場合)ハウスドルフにならないからでしょう。非ハウスドルフ空間は素朴な直感が効かないので、把握しにくいのです。

そんな次第で、G(A)の位相については「よく分かんない」「把握できない」状態なので、うまく説明できません*1。あしからず。

層化と反映部分圏

以下で、随伴を使うので、必要があれば、次の記事を参照してください。

与えられた前層(関手)から層(貼り合わせ可能な関手)を作る具体的な手順は後回しにして、前層を層化〈sheafification〉する関手を Ψ:PSh[X]→PSh[X] とします(今は天下り)。ここで、PShe[X] は Set-PSh = [Open(X)op, Set] の略記です。

前層Aの層化 Ψ(A) は、一種の“完備化”だと言えます。完備化と呼べるもの一般がそうであるように、2回繰り返しても効果は同じです。

  • Ψ(Ψ(A)) \stackrel{\sim}{=} Ψ(A) in PSh[X]

また、もとの前層Aからの層化Ψ(A)への標準的な射が存在します。

  • A→Ψ(A) in PSh[X]

層化関手Ψの像圏 Ψ(PSh[X]) ⊆ PSh[X] は、貼り合わせ可能前層の圏 Sh[X] ⊆ PSh[X] と同じ圏(PSh[X] の部分圏)になります。

以上のような状況を簡潔に表すと、次のように言えます。

  • 層の圏 Sh[X] は、前層の圏 PSh[X] の反映部分圏〈reflective subcategory〉である。

一般に、DCの反映部分圏であるとは、包含関手 J:DC が左随伴関手を持つ(Jが随伴系の右関手となる)ことです。Jの左パートナーをTとすると、T -| J となり、次のホムセット同型が成立します。

  • D(T(A), B) \stackrel{\sim}{=} C(A, J(B))

J(B) = B なので、次のように書いても同じです。

  • D(T(A), B) \stackrel{\sim}{=} C(A, B)

F = T*J :CC ('*'は関手の図式順結合)は、随伴系から作られるモナド(の台関手)になります。Fはベキ等な関手です。つまり:

  • F*F \stackrel{\sim}{=} F (\stackrel{\sim}{=} は自然同型)

この自然同型がモナドの乗法 μ::F*F⇒F:CCによって与えられます。モナドなので、単位自然変換もあります。

  • η::Id⇒F:CC

前層/層の圏の場合は、

  • C = PSh[X] = (X上の前層の圏)
  • D = Sh[X] = (X上の層の圏)
  • F = Ψ = 層化関手

という状況になっています。

ジャーム空間関手

次の解説論文で、グロスは層化をより一般的な観点から記述しています。

タイトルのバンドル〈bundle〉はファイバーバンドルのことではなくて、オーバー圏〈スライス圏〉 Top/X の対象ことです。他にも(誤解を招きそうな)変わった用語法を使っているので、以下、グロス論文とは違う言葉を使うことがあります。

グロスは、Top/X と PSh[X] のあいだの随伴系から PSh[X] 上のモナド (Ψ, μ, η) を誘導しています。この方法のほうが、層化の手順が理解しやすいと思います。

まず、Top/X について説明します。この圏の対象は φ:R→X in Top という連続写像です。φ:R→X, ψ:S→X が Top/X の対象のとき、射 f:(φ:R→X)→(ψ:S→X) in Top/X は、f:R→S in Top という連続写像で、f;ψ = φ を満たすものです。厳密には、f:(φ:R→X)→(ψ:S→X) in Top/X と、f:R→S in Top は別ですが、煩雑になるので同じ記号で表します。

(φ:R→X)∈|Top/X| は、Xの上に広がった空間と考えられます。そこで、Top/X の対象を相対空間〈relative space〉と呼び、Xは相対空間のベース空間〈base space〉、φは相対空間の構造射〈structure {morphism | map}〉と呼ぶことにします。相対空間という呼び名にあわせて、Top/X を RelSp[X] とも書きます。

相対空間を一文字ξで表したとき、ξ = (φξ:Rξ→X) 、あるいは ξ = (Rξ, φξ) のように書きます。記号の乱用により、R = (φR:R→X), R = (R, φR) のようにも書きます。

先に、X上の前層Aに対して、そのジャーム空間G(A)を定義しました。G(A)は(分かりにくい)位相空間です。構造射 φG(A):G(A)→X を定義して、G(A)をX上の相対空間にすることができます。G(A)の要素は、[a]x のように書けるので、φG(A)([a]x) = x とします。

ここで、グロスに従って、G(A)をΛ(A)と書くことにします('Λ'も使われ過ぎな記号だけど)。また、φG(A) = φΛ(A) を pA とも書きます。前層Aから作った相対空間は、pA:Λ(A)→X となります。さらに記号の乱用で、Λ(A) = (pA:Λ(A)→X) とも書きます -- Λ(A)がオーバーロード〈多義的使用〉されます。

前層のあいだの射(自然変換) α:A→B in PSh[X] があると、連続写像 Λ(α):Λ(A)→Λ(B) in RelSp[X] を構成できます。これらの構成は、全体として、関手 Λ:PSh[X]→RelSp[X] を定義します。Λは、前層に相対空間を対応させ、前層のあいだの射に相対空間のあいだの射を対応させます。

関手 Λ:PSh[X]→RelSp[X] を、ジャーム空間関手〈germ-space functor〉と呼びます。ジャーム相対空間関手というほうが正確ですが、ちょっと短めにしました。ジャーム空間〈ジャーム相対空間〉を層空間〈sheaf space〉とも呼びますが、ちょっとベタすぎるかな。エタール空間〈étalé space〉という言葉もありますが、前層のジャーム空間の意味で「エタール空間」を使うのは不適切かと思います(後述)。

セクション層関手

前節のジャーム空間関手Λとは逆方向の関手 Γ:RelSp[X]→PSh[X] を定義しましょう。

R = (φR:R→X) はX上の相対空間とします。Xの開集合Uで定義された写像 s:U→R が、∀x∈U.(φR(s(x)) = x) を満たすとき、sを(U上の)Rのセクション〈section | 断面〉と呼びます。U上で定義されたRのセクション全体の集合を Sec(U, R) と書きます。φRには何の条件も付けないので、Sec(U, R) が空になることもあります。

U∈|Open(X)| に対して、(Γ(R))(U) = Sec(U, R) と定義します。V⊆U に対して、(Γ(R))(U⊇V):Sec(U, R)→Sec(V, R) は写像の制限として定義します。すると、Γ(R)は Open(X)→Set という関手になるので、Γ(R)∈|PSh[X]| 。相対空間のあいだの射 f:R→S in RelSp[X] があると、Γ(f):Γ(R)→Γ(S) in PSh[X] も定義できて、Γ:RelSp[X]→PSh[X] は関手になります。この関手の値Γ(R)は、単なる前層ではなくて層になるので、Γをセクション層関手〈section-sheaf functor〉と呼びます。

相対空間Rのセクションというと、φR:R→X が全射連続写像であると想定することが多いでしょう。しかしここでは、φR全射であることは要求しません。例えば、φRが空間R全体をXの一点に潰してしまう写像とします。そして、Xにおいて一点は開集合にならないとします。このとき、Γ(R)は、すべての開集合に空集合を対応させる関手になります。これも層(貼り合わせ可能関手)です。

[補足]φR:R→X が全射であっても、セクションを持つとは限りません。

Xは、一点が開集合にならない空間とします(例:X = RRは普通の位相)。Rは、Xの台集合に離散位相を入れた離散空間とします。φR:R→X は集合レベルの恒等写像とします。φRは連続な全射となります。

集合のレベルでは、s:X⊇U→R で φR(s(x)) = x を満たす写像を作れますが(集合レベルの包含写像)、Rが離散空間なので連続にはなりません。したがって、連続セクションは存在しません。[/補足]

Sec(U, R) と Γ(R)(U) は区別しましたが、多くの場合、Sec(U, R) を Γ(U, R) と書きます。つまり、'Γ'をオーバーロード〈多義的使用〉して、Γ(U, R) = Γ(R)(U) と書きます。このオーバーロードはよく使われます。

ジャーム空間関手とセクション層関手の随伴性

グロスの論文の主たるトピックは、ジャーム空間関手とセクション層関手の随伴性です。この随伴性の詳細を述べるのは別な機会として、結論を言ってしまうと、Λ -| Γ となるので、次のホムセットの同型があります。

  • RelSp[X](Λ(A), R) \stackrel{\sim}{=} PSh[X](A, Γ(R))

随伴の単位と余単位は次の形をしています。

  • η::Id⇒Λ*Γ:PSh[X]→PSh[X]
  • ε::Γ*Λ⇒Id:RelSp[X]→RelSp>[X]

Ψ = Λ*Γ が PSh[X] 上のモナド (Ψ, μ, η) を形成します。そして、モナドの台関手Ψが、PSh[X] 上に働く層化関手になります。モナド (Ψ, μ, η) のベキ等性("idempotent monad"参照)から、反映部分圏の構造 Sh[X]⊆PSh[X] を誘導します。

RelSp>[X] 側に目を転じると、Ξ = Γ*Λ が RelSp[X] 上のコモナド (Ξ, δ, ε) を形成します('Ξ'はギリシャ文字大文字グザイ)。このコモナドはベキ等コモナドになるので、余反映部分圏〈coreflective subcategory〉の構造 EtSp[X]⊆RelSp[X] を誘導します。ここで出てきた部分圏 EtSp[X] は次節の話題とします。

エタール空間

前層Aのジャーム空間 G(A) = Λ(A) をエタール空間と呼ぶことがありますが、エタール空間は前層とは無関係に定義できます。次の点には注意が必要です。

  • 「エタール〈étalé〉であること」は、位相空間の性質ではありません。連続写像の性質です。
  • 代数幾何の「エタール」とは別物です。なんか類似性があるのかも知れませんが、代数幾何のエタールを知らないのでナントモ…

連続写像 f:X→Y がエタールだとは、局所同相なことです。詳しく言えば:

  • 任意の x∈X に対して、適当な開近傍U(x∈U)があって、Uとf(U)は同相になる。

相対空間 φR:R→X の構造射φRがエタールのとき、相対空間をエタール空間〈étalé space〉と呼びます。もちろん、エタール空間は相対空間なので、単一の位相空間ではありません。X上のエタール空間(とそのあいだの相対空間の射)の全体は、相対空間の圏 RelSp[X] の充満部分圏をなします。それを EtSp[X] と書きます。

層/前層の文脈でエタール空間〈エタール相対空間〉が出てくるのは、Ξ = Γ*Λ = (セクション層を作って、それからジャーム空間を作ること) という関手 RelSp[X]→RelSp[X] の像圏が EtSp[X] になっているからです。

前層の圏 PSh[X] 上に層化関手 Ψ = Λ*Γ が働いているのと並行的に(ただし双対的に)相対空間の圏 RelSp[X] 上に関手 Ξ = Γ*Λ が働いているのです。Ξはエタール化関手*2とでも呼ぶべきものです。

どんな相対空間Rに対しても、エタール空間Ξ(R)が構成できて、標準的な射 Ξ(R)→R が存在します。Ξ(Ξ(R)) \stackrel{\sim}{=} Ξ(R) でもあり、エタール空間の部分圏 EtSp[X] が RelSp[X] の余反映部分圏(反映部分圏の双対的概念)になります。

前層の圏 PSh[X] と相対空間の圏 RelSp[X] は、随伴で結ばれてはいますが、区別すべき2つの圏です。しかし、部分圏である Sh[X] と EtSp[X] は圏同値になります。つまり、Sh[X] と EtSp[X] は区別する必要がないほど似ています。

最近では、関手として前層/層を定義しますが、以前は「層とはエタール空間である」と定義することが多かったようです。どっちで定義してもかまわないのは、Sh[X] と EtSp[X] がジャーム空間関手とセクション層関手で相互に行き来できるからです。

既に述べたように、X上の前層Aから作られたジャーム空間G(A)は、奇妙な空間になることがあります。XがハウスドルフでAが単純な場合(例: 定数前層)は、G(A)もハウスドルフになります。が、Aが複雑になると(例: 連続関数の層)G(A)は非ハウスドルフ空間になります。Aの複雑さが、G(A)の非ハウスドルフ性としてエンコードされているようです。

前層の関手としての性質と、相対空間の位相的性質がどう対応しているのか? いまいちよく分かってないのですが、そのメカニズムを考える上でのフレームワークは、ジャーム空間関手とセクション層関手の随伴性 Λ -| Γ : RelSp[X]→PSh[X] だろうとは思います。

*1:ジャーム空間に実感を持てるようになったら、その位相についてまた書くかも知れません。

*2:"étalization"とか誰か使ってないかと思ったら、そんな言葉は使われてませんね。