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［参照用 記事］

微分はライプニッツ法則に支配されている 3/3： 領域導分と接ベクトル場

雑記／備忘

U⊆Rn を開集合として、X:C∞(U)→C∞(U) が、ライプニッツ法則を満たすR-線形写像のとき、Xは通常の偏微分作用素 \partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i} の関数係数線形結合で書けます。このことを示すことにしましょう。

また、ライプニッツ法則を満たすR線形写像Xと、接ベクトル場の関係についても述べます。これにて、「微分はライプニッツ法則に支配されている」というお話は完結です。

内容：

シリーズ目次：

  1. 微分はライプニッツ法則に支配されている
  2. 微分はライプニッツ法則に支配されている 2： 局所性
  3. 微分はライプニッツ法則に支配されている 3/3： 領域導分と接ベクトル場

寄り道しながら

「微分はライプニッツ法則に支配されている」というタイトルの一連の記事で僕が言いたいことは、ライプニッツ法則という代数法則で定義される作用素と、解析（微積分）的に定義される微分作用素が実は同じものだよ、ってことです。でも、そのことを述べる最短経路をとっているわけではありません。

「微分はライプニッツ法則に支配されている」にて：

関数ジャームの空間を定義します。もっとも、関数ジャームの空間を作るのが面倒なら、代わりに、適当な開集合Uに対する C∞(U) でも大差ないです。「この機会に関数ジャームを紹介しました」という感じです。ジャームは、それだけでもけっこう役に立つ概念ですが、層の理論のなかで考えるのが自然かも知れません。

「微分はライプニッツ法則に支配されている 2： 局所性」にて：

ユークリッド空間Rnの開集合Uで定義された関数の範囲では、後述の層（小さな開集合への制限）を使わなくても、前節最後の定理は出るような気がします。
...[snip]...
局所性を定式化するには、層の概念を使います。とはいえ、層の理論が必要なわけではなく、層の定義だけです。「層」という言葉を出す必要もないくらいです。

「絶対必要ではないけど…」と断りながら、色々な概念をつまみ食い的に紹介しています。関数ジャーム（無限小近傍で定義された関数）や層（関数の制限や貼り合わせのメカニズム）は、どっちみち使う道具なので、無駄な寄り道ではないでしょう。今回も、寄り道スタイルで、幾つかの概念を紹介します。ローカルな用語・記法も含まれます（断り書きを入れてます）。

Cr級関数、r = ∞ と r = -∞

U⊆Rn を開集合として、C0(U) は、連続関数 f:U→R の全体だとします。整数 r ≧ 1 に対して、Cr(U) は、r回微分可能で、微分した結果が連続であるような関数の全体とします。

第i方向への（通常の）偏微分作用素は、Di, ∂i, \frac{\partial}{\partial x_i} などと書きます。\frac{\partial}{\partial x_i} は、変数名が入るのが好ましくないので（「微分計算、ラムダ計算、型推論」参照）、僕はあまり使いません。f∈Cr(U) だとは、{∂1, ∂2, ..., ∂n} から、（重複を許して）r個選んで並べた作用素をfに作用させると（作用は可能だとして）、結果は連続関数になることです。次の言い方もします。

  • fはCr級の関数〈function of class Cr〉である ⇔ f∈Cr(U)

任意の r ≧ 0 に対して、f∈Cr(U) である関数の全体は C∞(U) と書きます。C∞(U) に入る関数をなめらかな関数〈smooth function〉と呼びます。

  • C^{\infty}(U) = \bigcap_{r\in {\bf N}}C^r(U)

微分可能でも連続でもない（かも知れない）関数を考えることもあるので、任意の関数の全体を C-∞(U) と書くことにします。この記法はここだけのものです。

  • f∈C-∞(U) ⇔ fは単なる写像 ⇔ f∈Map(U, R)

アンダーラインを付けた U, R は、単なる集合としての（構造をすべて忘れた）UとR です*1。

以下では、単に「関数」というとなめらかな関数を意味するので、何の条件もないC-∞級の関数は「勝手な関数」ということにします（ローカルルール）。

次のような包含の系列があります。

  • C∞(U)⊆ ... ⊆C2(U)⊆C1(U)⊆C0(U)⊆C-∞(U)

r = ∞ と r = -∞ も含めて、rの値が大きくなると小さな関数集合になります。

点導分と領域導分

「微分はライプニッツ法則に支配されている」では、一般的な可換環／加群に対して導分（代数的微分作用素）を定義しました。ここでは、二種類の導分を扱います。

[導分その1] Pが、C∞(U)からRへの点aでの導分だとは

  1. P:C∞(U)→R
  2. PはR-線形写像である。
  3. P(fg) = (Pf)g(a) + f(a)(Pg) --- ライプニッツ法則

[導分その2] Xが、C∞(U)からC∞(U)への導分だとは

  1. X:C∞(U)→C∞(U)
  2. XはR-線形写像である。
  3. X(fg) = (Xf)g + f(Xg) --- ライプニッツ法則

導分その1は、「微分はライプニッツ法則に支配されている」でジャームに対して定義しものと同じです。今回はジャームではなくて、関数そのものに作用するとします。

導分その2は、関数に関数を対応させるものです。通常の偏微分作用素 ∂i は、このタイプの導分になります。注意すべきは、導分といった場合、代数的に（公理的に）定義される作用素であり、特定の偏微分作用素かどうかは（今は）分からないことです。

導分その1を点導分〈point derivation〉、導分その2を領域導分〈region{nal}? derivation〉と呼ぶことにします。点導分は一般的に使われる言葉ですが、領域導分は見たことがないのでローカル用語です。

U上の関数の“点aでの点導分”の全体を PtDer(U, a) と書くことにします。U上の関数の“領域導分”の全体は RgnDer(U) にしましょう。「微分はライプニッツ法則に支配されている」で導入した一般的な記法である Der(A/K, M) を使うなら：

  • PtDer(U, a) := Der(C∞(U)/R, (R, a))
  • RgnDer(U) := Der(C∞(U)/R, C∞(U))

Der(A/K, M) という書き方で、MはA-加群です。点導分の場合は、Rに次のスカラー乗法（記号は'・'）を入れた加群が (R, a) です。

  • For f∈C∞(U), r∈R,
    • f・r := f(a)r （fが左から作用）
    • r・f := rf(a) （fが右から作用）

領域導分の場合のスカラー乗法は：

  • For f∈C∞(U), g∈C∞(U)
    • f・g := fg （fが左から作用）
    • g・f := gf （fが右から作用）

作用素と汎関数、なめらかさ

既に作用素という言葉を使ってますが、ここでは、限定的な意味で「作用素」を使うことにします。U⊆Rn を開集合として、C∞(U) から C-∞(U) への写像がR-線形であるとき作用素〈operator〉と呼びます。

作用素の余域〈codomain〉が勝手な関数の空間であることに注意して下さい。なめらかな関数fに対する作用素Kによる値 K(f) がなめらかかとは限りません。例えば、次のディリクレ関数hを掛け算する作用素 K(f) := hf を考えてください。

  • For x∈R, h(x) = if (xが有理数) then 1 else 0

f∈C∞(U) でも、K(f)∈C∞(U) とはなりません。

なめらかな関数を不連続関数に写して〈移して〉しまうような作用素はあんまり扱いやすくないですね。そこで、作用素がなめらか〈smooth〉であることを、なめらかな関数をなめらかな関数に写すことと定義します。

  • K:C∞(U)→C-∞(U) がなめらか :⇔ For f∈C∞(U), K(f)∈C∞(U)

通常の偏微分作用素 ∂i は、定義からあきらかになめらかな作用素です。

「汎関数」という、ちょっと古臭い言葉があります。ここでは、次の意味で使います。

  • F:C∞(U)→R がR-線形のとき、Fを汎関数〈functional〉という。

「作用素」に「線形」を付けなくとも線形性を仮定したので、同様に「汎関数」だけで線形性を仮定します（線形は織り込み済みとする）。

a∈U を決めて F(f) := f(a) は汎関数になります。a, b∈C∞ として F(f) := f(a) + f(b) も汎関数です。X⊆U をコンパクト領域として、F(f) := \int_K f(x) dx という積分も汎関数です。

K:C∞(U)→C∞ が作用素で、F:C∞(U)→R が汎関数のとき、G = F\circK が汎関数であることは定義から明らかです。例えば、G(f) := (∂if)(a) は汎関数になります。

K:C∞(U)→C∞ が作用素で、a∈U のとき、K|a という汎関数を次のように定義できます。

  • (K|a)(f) := (K(f))(a)

既に使っている記法 ∂i|a は、偏微分作用素 ∂i に、この構成を施したものです。

勝手な（なめらかとは限らない）関数 g∈C-∞ と、勝手な（なめらかとは限らない）作用素 K:C∞→C-∞ を掛け算した gK を定義できます。そして、次の公式が成立します。

  • ((gK)(f))(a) = (g(a)(K|a))(f)

K = ∂i ならば、

  • ((g∂i)(f))(a) = (g(a)(∂i|a))(f)

∂iはなめらかですが、gが不連続だと、(g∂i)(f) はなめらかではないかも知れません。作用素 \sum_{i = 1}^n g^i \partial_i がなめらかかどうかは、次の命題から判断できます。

  • 関数 g^i 達がすべてなめらか ⇔ 作用素 K = \sum_{i = 1}^n g^i \partial_i がなめらか

この（成立する）命題を、「なめらかさ補題〈smoothness lemma〉」と（ローカルに）呼ぶことにします。

なめらかさ補題を示しましょう。⇒方向は明らかなので、逆方向を示します。まず、第i射影関数 pi:Rn→R を、pi := λx∈Rn.(xi) と定義します。'λ'はラムダ記法のラムダです。微分幾何の習慣に従い添字は上付きです。pi を適当な開集合に制限した関数も同じ記号 pi と書きます。

次の事実はよく知られています。

  • \partial_i p^j = \delta_i^j

ここで、 \delta_i^j はクロネッカーのデルタです。変数名を使って書けば：

  • \frac{\partial x^j}{\partial x^i} = \delta_i^j

これを使って、 K(p^j) を計算してみます。

K(p^j) \\ = (\sum_{i = 1}^n g^i \partial_i)(p^j) \\ = \sum_{i = 1}^n g^i (\partial_i p^j) \\ = \sum_{i = 1}^n g^i \delta_i^j \\ = g^j

関数pjはもちろんなめらかです。作用素Kは仮定よりなめからだったので、K(pj) はなめらかです。つまり、関数 gj 達はすべてなめらかになります。

領域導分の表示

通常の偏微分作用素 ∂i:C∞(U)→C∞(U) は領域導分です。つまり、ライプニッツ法則を満たすR-線形写像です。一般の領域導分 X:C∞(U)→C∞(U) が、∂i達の関数係数線形結合で書けることを示しましょう。なお、この事実を後で参照するときは領域導分定理〈region{al}? derivation theorem〉と呼ぶことにします。

最初に、「微分はライプニッツ法則に支配されている」の内容を、補題としてまとめておきます。

  • 点導分補題〈point derivation lemma〉： P:C∞(U)→R が点aでの点導分ならば、適当な実数 ξ1, ..., ξn が存在し、 P = \sum_{i = 1}^n \xi^i (\partial_i|_a) と書ける。

X:C∞(U)→C∞(U) が領域導分のとき、汎関数 X|a:C∞(U)→R が点導分になることはすぐにわかります。よって、点導分補題から、

  • X|_a = \sum_{i = 1}^n \xi^i (\partial_i|_a) \:\:\: \mbox {where}\: \xi_i \in {\bf R}

と書けます。Uのすべての点aでこの表示を考えると、実数達 ξi, ..., ξn はaの関数となるので、次のように書けます。

  • X|_a = \sum_{i = 1}^n \xi^i(a) (\partial_i|_a) \:\:\: \mbox{ for}\: a \in U

これは、

  • X = \sum_{i = 1}^n \xi^i \partial_i

を意味します。念のために、f∈C∞(U) にXを作用させて確認してみます。（'//'は、等式変形に対するコメントです。）

(Xf)(a) \\ = (X|_a)f \\ // \:\: X|_a = \sum_{i = 1}^n \xi^i(a) (\partial_i|_a) \\ = (\sum_{i = 1}^n \xi^i(a) (\partial_i|_a) )f \\ = \sum_{i = 1}^n (\xi^i(a) (\partial_i|_a)f) \\ // \:\: (\partial_i|_a)f = (\partial_i f)(a) \\ = \sum_{i = 1}^n \xi^i(a)( (\partial_i f)(a)) \\ = ( (\sum_{i = 1}^n \xi^i \partial_i) f)(a) \\
これが、任意の a∈U に対して成立するので、

Xf = (\sum_{i = 1}^n \xi^i \partial_i) f

さらにこれが、任意の f∈C∞(U) に対して成立するので、

X = \sum_{i = 1}^n \xi^i \partial_i

これで得られた関数達 ξi がなめらかかどうかは、ただちには分かりませんが、領域導分Xは定義によりなめらかだったので、なめらかさ補題により ξi 達もなめらかです。

以上により、領域導分Xは \sum_{i = 1}^n \xi^i \partial_i という一意的表示を持つことが分かりました。一点だけではなく領域（開集合全体）においても、ライプニッツ法則を満たす線形作用素は、我々が知っている「あの微分」（後述の方向微分）に限るのです。別な言い方をすると、代数的に定義された導分は、解析的に定義された微分に一致します。

接ベクトル場

「接ベクトル場」というと、心に描くイメージは次のようなものでしょう。

*2

ユークリッド空間Rnの点 a = (a1, ..., an) にくっついているベクトル v(a) の成分表示を、

v(a) = v(a_1, \cdots, a_n) = \begin{pmatrix} v^1(a_1, \cdots, a_n) \\ \cdots \\ \cdots \\ v^n(a_1, \cdots, a_n) \\ \end{pmatrix}

とします。点の座標を a = (a1, ..., an)、接ベクトル場の成分表示を (v1(a), ..., vn(a)) と書いています。aが動く範囲を U⊆Rn とすると、接ベクトル場は v:U→Rn という写像で表現できます。これを接ベクトル場の仮の定義として採用します。つまり：

  • U⊆Rn上の接ベクトル場(仮)〈tangent vector field (provisional)〉とは、v:U→Rn というなめらかな（C∞な）写像である。

さてここで、異なる点の接ベクトルは異なるとして、点aにおける接ベクトルは (a, ξ) または ξ@a と書くことにします。すると、接ベクトルの全体は U×Rn = {(a, ξ) | a∈U, ξ∈Rn} となります。

ベクトル場は、点aに、その点における接ベクトルを対応させます。よって、次のような写像になります。

  • w:U→U×Rn
  • π\circw = idU

ここで、π:U×Rn→U は、π(a, ξ) = π(ξ@a) = a と定義される射影です。wを、w(a) = (f(a), v(a)) と分解してみると、上記二番目の条件から、f(a) = a となり、w(a) = (a, v(a)) と書けます。これは、wはvだけで決まってしまうことを意味します。しかし、「異なる点の接ベクトルは異なる」という発想は、接ベクトル場(仮)とは違います。次の定義をします。

  • U⊆Rn上の接ベクトル場〈tangent vector field〉とは、w:U→U×Rn というなめらかな（C∞な）写像で、π\circw = idU を満たすものである。

接ベクトル場wは、w(a) = v(a)@a と書けます。wとvは1：1に対応するので、記号の乱用で、v(a) = v(a)@a と書いていしまうことがあります。不正確でヨロシクナイけど、このような乱用は使われます。

a∈U に対して、Rn@a を次のように定義します*3。

  • Rn@a = {ξ@a | ξ∈Rn} = {(x, ξ)∈U×Rn | x = a} = {a}×Rn

射影 π:U×Rn→U を使って書けば：

  • Rn@a = π-1(a)

もし、ファイバーバンドルのファイバーの記法をご存知なら、

  • Rn@a = (U×Rn)a

領域導分と接ベクトル場の対応

前節で接ベクトル場を定義しました。領域（開集合）U上の接ベクトル場の全体を TVF(U) とします（TVF = Tangent Vector Field）。

X:C∞(U)→C∞(U) がU上の領域導分（X∈RgnDer(U)）のとき、U上の接ベクトル場 v = ΞX が決まります。ここで、Ξ〈大文字グザイ〉は、Ξ:RgnDer(U)→TVF(U) という写像です*4。

また、vがU上の接ベクトル場（v∈TVF(U)）のとき、U上の領域導分 X = Dv が決まります。ここで、Dは、D:TVF(U)→RgnDer(U) という写像です。

今述べたΞとDをちゃんと定義した上で、互いに逆であること(↓)を示しましょう。

  1. For X∈RgnDer(U),
    let v = ΞX
    then Dv = X
  2. For v∈TVF(U),
    let X = Dv
    then ΞX = v

まず、Ξの定義； X∈RgnDer(U) とすると、領域導分定理により、なめらかな関数達 ξi∈C∞(U) があって、 X = \sum_{i=1}^n \xi^i \partial_i と書けるのでした。このξi達を使って、

  • v = ΞX = λa∈U.((ξ1(a), ..., ξn(a))@a)

と定義します。簡潔に書くなら v(a) = ξ(a)@a です。X \mapsto ξ \mapsto v という対応が Ξ:C∞(U)→TVF(U) です。

次に、Dの定義； v∈TVF(U) として、乱用記法により v(a) = v(a)@a と書きます。v(a)を成分表示すると、v(a) = (v1(a), ..., vn(a)) 、この関数達 vi を使って、

  • D_v := \sum_{i=1}^n v^i \partial_i

と定義します。v \mapsto Dv が D:TVF(U)→RgnDer(U) です。Dvは、接ベクトル場vによる方向微分〈directional {derivative | differential}〉といいます。

一点aで考えると、点導分 \sum_{i=1}^n\xi^i (\partial_i|_a) と、接ベクトル (ξ1, ..., ξn)@a （ただし、ξ1, ..., ξn は実数）が対応することになります。

ΞとDが互いに逆になることは容易に確認できるでしょう（割愛）。

領域導分と接ベクトル場の同一視

この記事では、U上の接ベクトル場を写像 v:U→U×Rn として定義しました。そして、接ベクトル場と領域導分が1：1に対応することを示しました。

最近の流儀だと、いきなり「接ベクトル場とは領域導分のことである」と定義することが多いです。このほうが手っ取り早く効率的です。が、唐突過ぎて困惑する人もいるでしょう。僕は「はぁーっ？？」と思いました。領域導分は、接ベクトル場の直感と（当初は）かけ離れていますから。

そんな事情があるので、だいぶ丁寧に「領域導分を接ベクトル場とみなしてもいい」事情を説明したのでした。

前節で説明した「領域導分と接ベクトル場のあいだの対応」を使って、領域導分と接ベクトル場を同一視してしまいます。つまりは、「接ベクトル場とは領域導分のことである」と定義するのと同じことです。

なぜこのような同一視をするかと言うと、接ベクトル場の直感的イメージよりは、領域導分のほうがはるかに扱いやすいからです。

このような定義は、概念が“高階化”してますが、それにより“代数化”されています。代数的（代数化された）定義は、計算に向いており、等式的変形で命題が示せる場合が多くなります。これは、扱いやすさにつながります。

言いたいことは言ったので、「微分はライプニッツ法則に支配されている」シリーズ（結果的に3回）はオシマイです。

*1:アンダーラインを付けるのは、underlying set だから、underlying ≒ underlining というダジャレです。

*2:元画像： https://reference.wolfram.com/language/howto/PlotAVectorField.html.ja Wolfram言語＆システムのマニュアルから。

*3:この記事内では、Rn@a は使いませんでした。が、いつか使うかも知れないので定義を残しておきます。

*4:Ξは、Uごとに決まるので、UΞ:RgnDer(U)→TVF(U) と書くべきでしょうが、開集合Uによるインデックスは省略します。