(-1)乗記号の憂鬱と混乱 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

$f:{\bf R}^2 \to {\bf R}^2$ は、可逆で微分可能な写像〈関数〉だとしましょう。この関数の逆関数の微分は、次の公式で与えられます。

$D(f^{-1}) = (Df)^{-1}\circ f^{-1}$

$Df$ は“fの微分”を与える2×2の行列値関数（ヤコビ行列）です。

この公式を見たある人が、次のように“式変形”してから公式を使おうとしました。

$D(f^{-1}) = (f\circ Df)^{-1}$

そして、「んっ？えっ。あれっ。アッレェーー？？」と混乱していました。

もとの公式の書き方が（間違いではないけど）不親切というか誤解をまねく表現なんですね。右肩に -1 を載せる指数の書き方は、多義的で〈オーバーロードされていて〉意味が取りにくく誤解・混乱の原因になります。

この記事で (-1)乗記号の幾つかの例を出して明確化します。(-1)乗記号に限らず、誤解をまねく困った記法の例は色々あります。言えることは、「なんとなくボンヤリと捉えるのではなくて、文脈に応じてちゃんと解釈しましょう」です。

内容：

(-1)乗記号の用法
逆元
逆写像
逆数関数
逆像
逆関数の微分公式

(-1)乗記号の用法

右肩に指数として -1 を載せる書き方は、次のような意味で使われています。

逆元
逆写像
逆数関数
逆像

他にもあるかも知れませんが、とりあえずこの4つの用法を見ていきましょう。

逆元

逆元〈inverse element〉というと、群を連想する人が多いかも知れませんが、部分写像〈partial map〉でいいのなら、任意のモノイドにおいて逆元を作る対応を考えることができます。

M = (M, *, e) （記号の乱用）をモノイドとして、Mの部分集合 Invtbl(M) （可逆〈invertible〉な要素の全体）を次のように定義します。

Invtbl(M) := {x∈M | x*y = y*x = e となる y∈M が存在する}

e∈Invtbl(M) なので、Invtbl(M) は空ではありません。x∈Invtbl(M) に対して、x*y = y*x = e となる y は一意であることが証明できます。なので、(x $\mapsto$ y) として、次のプロファイルの写像 inv_M が定義できます。

inv_M:Invtbl(M) → M in Set

Par を集合と部分写像〈paritial map〉の圏として、inv_M を部分写像と考えることもできます。

inv_M:M → M in Par

inv_M(x) を簡略に表す記法が x^-1 です。

逆写像

X, Y を集合として、XからYへの写像の全体を Map(X, Y) と書きます。可逆な写像〈invertible map〉の全体を InvtblMap(X, Y) とします。

InvtblMap(X, Y) := {f∈Map(X, Y) | f;g = id_X かつ g;f = id_Y となる g∈Map(Y, X) が存在する}

InvtblMap(X, Y) は空集合になることがあります。例えば、InvtblMap({1, 2}, {1}) は空です。

f∈InvtblMap(X, Y) に対して、f;g = id_X かつ g;f = id_Y となる g∈Map(Y, X) （gがfの逆写像〈inverse map〉）は一意であることが証明できます。なので、(f $\mapsto$ g) として、次のプロファイルの写像 invMap_X,Y が定義できます。

invMap_X,Y:InvtblMap(X, Y) → Map(Y, X) in Set

invMap_X,Y を部分写像と考えることもできます。

invMap_X,Y:Map(X, Y) → Map(Y, X) in Par

invMap_X,Y(f) を簡略に表す記法も f^-1 です。

逆数関数

典型的な逆数関数〈reciprocal function〉は ${\bf R}_{\ne 0}\ni x \mapsto \frac{1}{x} \in {\bf R}$ ですが、少し一般化して、モノイドを余域とする関数 f:X → M （M = (M *, e) はモノイド）があるとき、“fの逆数関数” g を次のように定義します。

For x∈X, g(x) := inv_M(f(x))

inv_M は先に出てきた逆元を対応させる部分写像です。

任意の x∈X に対して g(x) ∈ Invtbl(M) ならば、g = f;inv_M :X → M in Set という普通の写像〈全域決定性写像〉として定義できます。そうでないときでも、部分写像として結合〈合成〉して g = f;inv_M :X → M in Par は定義できます。

f:X → M に対する f;inv_M :X → M （Set または Par の射）を、fの逆数関数〈the reciprocal {function}? of f〉といいます。例えば、https://www.storyofmathematics.com/reciprocal-function（このページ、広告多すぎ）を参照。

fの逆数関数を f^-1 と書くかも知れません。

逆像

f:X → Y in Set として、fによる B⊆Y の逆像〈inverse image〉は次のように定義します。

f^-1(B) := {x∈X | f(x)∈B}

もう既に使ってますが、逆像にも(-1)乗の記号を使います。(B $\mapsto$ f^-1(B)) という対応は、次のプロファイルの写像です。

f^-1:Pow(Y) → Pow(X) in Set

ベキ集合構成を、集合圏SetからSetへの反変自己関手と考えたときの射部分〈morphism part〉が (f $\mapsto$ f^-1) です。

(-1)乗の記号のままだと分かりにくいので、f^-1 の代わりに Pow(f) と書けば：

Pow(f):Pow(Y) → Pow(X) in Set

これが反変自己関手だと言ったのは、次の性質をもつからです。

For X∈|Set|, Pow(X)∈|Set|
For f:X → Y in Set, Pow(f):Pow(Y) → Pow(X) in Set
For f:X → Y, g:Y → Z in Set, Pow(f;g) = Pow(g);Pow(f) :Pow(Z) → Pow(X) in Set
For X∈|Set|, Pow(id_X) = id_Pow(X) :Pow(X) → Pow(X) in Set

ただし、逆像ではなくて順像〈image〉も関手になるので、これらを区別するために次のような書き方をします。

f:X → Y in Set に対して、
逆像による反変ベキ集合関手の値： Pow^*(f):Pow^*(Y) → Pow^*(X) in Set
順像による共変ベキ集合関手の値： Pow_*(f):Pow_*(X) → Pow_*(Y) in Set

逆関数の微分公式

冒頭に挙げた逆関数の微分公式 $D(f^{-1}) = (Df)^{-1}\circ f^{-1}$ をちゃんと解釈してみましょう。

$f:{\bf R}^2 \to {\bf R}^2$ の微分は、 $Df:{\bf R}^2 \to Mat(2, 2)$ という写像になります。ここで、 $Mat(2, 2)$ は、実数成分の2行2列の行列の集合です。2行2列の行列の全体は掛け算でモノイドとなるので、逆元〈逆行列〉を対応させる写像があります*1。

$inv_{Mat(2,2)}:Invtbl(Mat(2, 2)) \to Mat(2, 2)$

$(Df)^{-1}$ の意味は $Df;inv_{Mat(2,2)} = inv_{Mat(2,2)}\circ Df$ のこと、つまり $Df$ の逆数関数（逆関数ではない！）です。それに対して、 $f^{-1}$ は $invMap_{{\bf R}^2, {\bf R}^2}(f)$ のことです。