概リー／ラインハート代数

先日の記事「リー／ラインハート代数とその周辺」で、リー／ラインハート代数〈Lie-Rinehart algebras〉を話題にしました。が、リー／ラインハート代数の定義には少し揺らぎがあります。その点を注意しておきます。条件〈公理〉をゆるくした概リー／ラインハート代数〈almost Lie-Rinehart algebra〉を導入して、その準同型写像を定義します。 $% \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }% \newcommand{\hyp}{\mbox{-} }% \newcommand{\id}{\mathrm{id} }% \newcommand{\In}{\mbox{ in }}% \newcommand{\dif}{\mathop{\triangleright}}% \newcommand{\difb}{ \gtrdot }% \newcommand{\For}{ \mbox{For } }%$

内容：

動機
ヒュープシュマンの定義
括弧積マグマ
概リー／ラインハート代数
導分作用
概リー／ラインハート代数のあいだの射
概リー／ラインハート代数射から作る概リー／ラインハート代数
そしてそれから

動機

リー／ラインハート代数を知って「おっ」と思ったのは、多様体上の微分計算の代数的定式化として適切だと思ったからです。リー／ラインハート代数 $(A, L)$ の典型的例として、（なめらかな）多様 $M$ に対する $A := C^\infty(M), L := \mathfrak{X}(M)$ があります。 $\mathfrak{X}(M)$ は $M$ 上の接ベクトル場の空間で、交換子積でリー代数と考えます。

以前はリー亜代数を中心に考えるのがいいかなと考えていました（「シュバレー／アイレンベルク関手の話 // リー亜代数」参照）。が、今はリー／ラインハート代数のほうがより良い基盤だと思っています。

ただし、素のリー／ラインハート代数だけでは不十分で、層論化してリー／ラインハート代数層を考える必要はあるだろうし、自由ゲルステンハーバー代数構成やシュバレー／アイレンベルク関手も一緒に考える必要があるでしょう。

また、リー代数を基本とするリー／ラインハート代数の条件〈公理〉をゆるくして、必ずしもリー代数ではない代数系上でも微分計算が出来るようにしておいたほうがよさそうです。この記事では、条件をゆるめる話をします。

ヒュープシュマンの定義

「リー／ラインハート代数とその周辺」で次の2つの論文を参照しました。

Title: Lie-Rinehart algebras, Gerstenhaber algebras, and B-V algebras
Submitted: 9 Apr 1997
Author: Johannes Huebschmann
Pages: 13p
URL: https://arxiv.org/abs/dg-ga/9704005

Title: Multi derivation Maurer-Cartan algebras and sh-Lie-Rinehart algebras
Submitted: 19 Mar 2013
Author: Johannes Huebschmann
Pages: 34p
URL: https://arxiv.org/abs/1303.4665

著者はどちらもヒュープシュマン〈Hübschmann | Huebschmann〉ですが、この2つの論文において、リー／ラインハート代数の定義が違っています。1997年論文の定義、そして現在でも標準的な定義では、結合的可換代数〈環〉とリー代数のペアが使われます。nLabの定義もそうなっています（nLabではリー／ラインハート対という名前で、結合的代数の可換性の仮定はないようです）。

https://ncatlab.org/nlab/show/Lie-Rinehart+pair

「リー／ラインハート代数とその周辺 // リー／ラインハート代数」もこの定義で書いています。

2013年の論文では、リー代数の仮定は外しています。しかし、呼び名を変えてないので、ちょっと困ります。ここでは、ヒュープシュマン2013年の定義を概リー／ラインハート代数〈almost Lie-Rinehart algebra〉と呼んで区別します。

概リー／ラインハート代数ではリー代数の性質（ヤコビ恒等式）が使えないので、色々と不便ですが、逆に、ヤコビ恒等式がどのように役立っているかがハッキリする、というメリットもあります。

形容詞「概〈almost〉」を使ったのは、Courant-Dorfman algebras and their cohomology において、ロイテンベルク〈Dmitry Roytenberg〉が、ヤコビ恒等式（と幾つかの等式）を満たさない代数系を almost Courant-Dorfman algebra と呼んでいたからです。ヤコビ恒等式を除いたリー亜代数を almost Lie algebroid と呼ぶこともあるようです（例えば Generalizing Geometry - Algebroids and Sigma Models）*1。

括弧積マグマ

概リー／ラインハート代数ではリー代数を使っていません。代わりに、リー代数からヤコビ恒等式を除いた代数系を使っています。この代数系は決まった名前を持ってないようです。The Role of the Jacobi Identity in Solving the Maurer-Cartan Structure Equation で著者のユノアビッシュ〈Ori Yudilevich〉*2は、このテの代数系を pre-Lie algebra と呼んでますが、pre-Lie algebra の比較的認知された定義はそれとは違うようです。

https://ncatlab.org/nlab/show/pre-Lie+algebra

ここでは、ベクトル空間の圏におけるマグマの一種とみなしてネーミングをします。

マグマ〈magma〉とは、集合 $S$ とその上の二項演算 $m:S\times S \to S \In {\bf Set}$ の組 $(S, m)$ で、なんの法則性も仮定しないものです。

マグマをベクトル空間の圏 ${\bf Vect}_K$ （ $K$ は基礎体）で考えると、
ベクトル空間 $V$ とその上の二項演算（双線形写像） $m:V\otimes V \to V \In {\bf Vect}_K$ の組 $(V, m)$ で、なんの法則性も仮定しないものです。これは線形マグマと呼ぶべきものですが、ベクトル空間の圏で考えていることが了解されているなら単にマグマと呼んでもいいでしょう。

二項演算が交代〈反対称 | 歪対称〉双線形写像のとき、それを括弧積と呼びます。リー括弧積〈Lie bracket〉はこの意味の括弧積です。積〈乗法〉が括弧積であるようなマグマを括弧積マグマ〈bracket magma〉と呼ぶことにします。

括弧積マグマを対象として、括弧積を保存する線形写像を射とする圏を ${{\bf BraMag}_K}^{\mathrm{presv}}$ とします。右肩の presv は preserve/preservation のつもりで、括弧積の保存〈preservation〉を意味します。 ${\bf LieAlg}_K$ から ${{\bf BraMag}_K}^{\mathrm{presv}}$ への忘却関手があります。

括弧積マグマを対象として、単なる $K$ -線形写像を射とする圏を ${{\bf BraMag}_K}^{\mathrm{uncond}}$ とします。uncond は unconditional のつもりです。 ${{\bf BraMag}_K}^{\mathrm{uncond}}$ も使います。

基礎体 $K$ は何かに固定して、 $A$ は $K$ 上の可換代数（ $K$ -可換代数、 $K$ -環とも呼ぶ）とします。 $B$ は $K$ 上の括弧積マグマとします。

概リー／ラインハート代数〈almost Lie-Rinehart algebra〉の定義は、リー代数が括弧積マグマに変わるだけで同じです（「リー／ラインハート代数とその周辺 // リー／ラインハート代数」参照）。繰り返し書くと、構成素は $(A, B, s, \delta)$ で：

$s:\underline{A}\otimes \underline{B} \to \underline{B} \In {\bf Vect}_K$ （ $\underline{A}, \underline{B}$ はそれぞれの台ベクトル空間）
$\delta:\underline{B} \to Der(A/K) \In {\bf Vect}_K$ （ $Der(A/K)$ は導分〈derivation〉のベクトル空間）

可換代数〈環〉の積〈乗法〉をドット、加群のスカラー倍を併置、括弧積は $[\hyp, \hyp]$ で書くとして、満たすべき法則〈公理〉は以下です。

$s$ は $B$ に左 $A$ -加群構造を与える。（ $A$ は可換なので、右 $A$ -加群構造も考えてよい。）
$\forall a\in A, X, Y\in B.\, [X, aY] = \delta(X)(a) Y + a[X, Y]$ （ライプニッツ法則*3）
$\forall a, b\in A, X\in B.\, \delta(aX)(b) = a\cdot ( \delta(X)(b))$ （ $A$ -線形性）

概リー／ラインハート代数では、 $B$ はリー代数ではなくて単なる括弧積マグマです。ヤコビ恒等式の成立は仮定できません。ヤコビ恒等式があると、 $\delta$ がリー代数の射〈準同型写像〉であることが証明できますが、それも出来ないので、 $\delta$ が括弧積を保存することも保証できません。

概リー／ラインハート代数に追加するかも知れない条件として次の2つがあります。

括弧積条件〈bracket condition〉： $\delta$ が括弧積を保存する。 $Der(A/K)$ の括弧積は交換子〈commutator〉括弧とします。
ヤコビ条件〈Jacobi condition〉： $B$ においてヤコビ恒等式が成立する。つまり、 $B$ がリー代数になる。

概リー／ラインハート代数だけを見てると、括弧積条件／ヤコビ条件の意味がハッキリしませんが、概リー／ラインハート代数にシュバレー／アイレンベルク関手を適用すると、括弧積条件／ヤコビ条件がシュバレー／アイレンベルク作用素の平方ゼロ性〈square-zero property〉を導くことが分かります。このことは別記事で述べるつもりです。

導分作用

概リー／ラインハート代数 $(A, B, s, \delta)$ を $(A, B)$ と略記します。A, B はアルファベットの最初の二文字というわけではなくて、associative algebra から A 、bracket から B です。

$\delta(X)(a)$ を二項演算子記号を使って次のように表します。

$X\dif a := \delta(X)(a)$

二項演算子記号で表される写像 $(\hyp \dif \hyp)$ を単に $(\dif)$ とも書きます（Haskellの書き方を借用）。

$(\dif) : B\otimes A \to A \In {\bf Vect}_K$

$(\cdot):A\otimes A \to A$ も同様です。演算子記号が空であるスカラー倍を $():A\otimes B \to B$ と書くとさすがに分からないと思うので $s:A\otimes B \to B$ を使います。

$(\dif)$ は $K$ -双線形写像ですが、 $A$ 係数の双線形写像にはなりません（なると保証はできない）。概リー／ラインハート代数の定義から次は成立します（記号を変えて定義の再掲）。

$X\dif (a\cdot b) = (X\dif a)\cdot b + a\cdot (X\dif b)$ （導分として作用）
$[X, aY] = (X\dif a)Y + a[X, Y]$ （ライプニッツ法則）
$(aX) \dif b = a\cdot (X \dif a)$ （ $A$ -線形性）

これらは、括弧積マグマ $B$ が（左から）導分として可換代数 $A$ に作用していることを表します。 $B$ がリー代数ならリー加群といいますが、リー代数とは限らないので（左）導分作用〈derivation action〉と呼んでおきます。

念の為、上記のライプニッツ法則と $A$ -線形性を可換図式で表しておきます。まずはライプニッツ法則：

$\xymatrix @C+2pc{ {(B\otimes A)\otimes B} \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]_{\cong} &{ ( (B\otimes A)\otimes B)\oplus ( (B\otimes A)\otimes B) } \ar[d]^{\cong} \\ %(2) {B\otimes (A\otimes B) } \ar[d]_{\id \otimes s} &{ ( (B\otimes A)\otimes B)\oplus ( A \otimes( B\otimes B)) } \ar[d]^{( (\dif) \otimes \id)\, \oplus\, (\id\otimes [\hyp,\hyp] )} \\ %(3) {B\otimes B} \ar[d]_{[\hyp, \hyp]} &{(A\otimes B) \oplus (A\otimes B)} \ar[d]^{s \,\oplus\, s} \\ %(4) {B} & {B\oplus B} \ar[l]^{(+)} }\\ \mbox{commutative in }{\bf Vect}_K$

要素を追いかけると：

$\xymatrix @C+2pc{ {(X, a), Y} \ar@{|->}[r]^-{\Delta} \ar@{|->}[d]_{\cong} &{ ( (X, a), Y)\oplus ( (X, a), Y) } \ar@{|->}[d]^{\cong} \\ %(2) {X, (a, Y) } \ar@{|->}[d]_{\id \otimes s} &{ ( (X, a) , Y)\oplus ( a , ( X, Y) ) } \ar@{|->}[d]^{( (\dif) \otimes \id)\, \oplus\, (\id\otimes [\hyp,\hyp] )} \\ %(3) {X , aY} \ar@{|->}[d]_{[\hyp, \hyp]} &{(X\dif a , Y) \oplus (a, [X, Y])} \ar@{|->}[d]^{s \,\oplus\, s} \\ %(4) {\mbox{the equation}} & { (X\dif a) Y \oplus a[X, Y]} \ar[l]^{(+)} }$

次に $A$ -線形性：

$\xymatrix{ {(A \otimes B)\otimes A} \ar[r]^{\cong} \ar[d]_{s\otimes \id} &{A \otimes (B \otimes A)} \ar[d]^{\id \otimes (\dif)} \\ %(2) {B\otimes A} \ar[d]_{(\dif)} &{A \otimes A} \ar[d]^{(\cdot)} \\ %(3) {A} \ar@{=}[r] &{A} }\\ \mbox{commutative in }{\bf Vect}_K$

要素を追いかけると：

$\xymatrix{ {(a, X), b } \ar@{|->}[r]^{\cong} \ar@{|->}[d]_{s\otimes \id} &{a, (X, b)} \ar@{|->}[d]^{\id \otimes (\dif)} \\ %(2) {aX, b} \ar@{|->}[d]_{(\dif)} &{a, X\dif b} \ar@{|->}[d]^{(\cdot)} \\ %(3) {(aX)\dif b} \ar@{=}[r] &{a\cdot (X\dif b)} }$

概リー／ラインハート代数のあいだの射

ベクトル空間 $V$ が可換代数〈環〉 $A$ 上の加群になっていることを $V/A$ により示すことにします。また、可換代数 $A$ が括弧積マグマ $W$ の導分作用を持っていることを $A/_{\dif}W$ と書くことにします。 $\dif$ は導分作用を表す二項演算子記号です。

上記の書き方を使うと、可換代数と括弧積マグマのペア $(A, B)$ が概リー／ラインハート代数であることは次のように書けます。

$B/A$ であり、かつ $A/_{\dif} B$ でもある。

同じことを丁寧に言えば：

ベクトル空間 $B$ は $A$ -加群構造を持ち、可換代数 $A$ は $B$ -導分作用を持つ。

$A$ -加群構造と $B$ -導分作用が協調することを要請しているのが、前節のライプニッツ法則と $A$ -線形性です。

さて、2つの概リー／ラインハート代数 $(A, B), (A', B')$ のあいだの射〈準同型写像〉を定義します。概リー／ラインハート代数射は2つの構成素〈constituents〉を持ちます。

$f: A' \to A \In {\bf CAlg}_K$
$g: B \to B' \In { {\bf BraAlg}_K }^{\mathrm{uncond}}$

${\bf CAlg}_K$ は（ $K$ 上の）可換代数の圏なので、 $f$ は可換代数射です。一方、 $g$ は括弧積マグマ射ですが、何の条件もない単なる線形写像です。構成素である2つの射の向きが逆方向であることに注意してください。

可換代数射と括弧積マグマ射（ただし無条件）のペアを $(f, g): (A, B) \to (A', B')$ の形で書きます。 $f$ の方向は逆です。このペアが概リー／ラインハート代数射であるための条件は次です。

$\forall a'\in A', X\in B.\, g( f(a')X ) = a' g(X)$
$\forall a'\in A', X\in B.\, f(g(X)\dif a' ) = X \dif f('a)$

$(f, g): (A, B) \to (A', B'),\, (f', g'):(A', B') \to (A'', B'')$ が2つの概リー／ラインハート代数射のとき、これらの結合 $(f\circ f', g'\circ g)$ が概リー／ラインハート射の条件を満たすことが確認できます。また、恒等射のペア $(\id_A, \id_B)$ は概リー／ラインハート代数射になるので、概リー／ラインハート代数と概リー／ラインハート代数射の全体が圏をなすことが分かります。この圏を ${\bf AlmLieRineAlg}_K$ とします。

概リー／ラインハート代数射から作る概リー／ラインハート代数

前節の概リー／ラインハート代数射の条件は天下りな印象があるかも知れません。概リー／ラインハート代数射の条件を決めるときの指導原理は、「 $(f, g)$ により新しい概リー／ラインハート代数を作れるようにする」でした。新しい概リー／ラインハート代数の作り方を説明します。

$(A, B), (A', B')$ が概リー／ラインハート代数のとき、概リー／ラインハート代数 $(A', B)$ を作ります。イメージ的な図ですが、実線両矢印の概リー／ラインハート代数構造が与えられて、点線両矢印の概リー／ラインハート代数構造を構成する話です。

$\xymatrix @C+1pc{ {B} \ar@{<->}[d] \ar@{<.>}[dr] & {B'} \ar@{<->}[d] \\ {A} & {A'} }$

新しく作るスカラー倍を $*$ 、新しく作る導分作用を $\difb$ とします。ペア $(A', B)$ が概リー／ラインハート代数であるためには、 $B/_\ast A'$ かつ $A'/_\difb B$ である必要があります。

新しい演算 $(*):A'\otimes B \to B ,\, (\difb) : B\otimes A' \to A' \In {\bf Vect}_K$ は次のように定義します。

$\For a'\in A', X\in B.\, a'*X := f(a')X$
$\For X\in B, a'\in A'.\, X\difb a' := g(X) \dif a'$

新しい記号 $*, \difb$ を使うと、 $(f, g)$ が概リー／ラインハート代数射である条件は次のように書けます。

$g(a' * X) = a'g(X)$ （ $g$ はスカラー倍を保存する）
$f(X \difb a') = X \dif f(a')$ （ $f$ は導分作用を保存する）

$(A', B, (*), (\difb) )$ が概リー／ラインハート代数であるあるためには次の等式が要求されます。

$\forall X\in B, a', b'\in A'.\, X\difb (a'\cdot b') = (X\difb a')\cdot b' + a'\cdot (X\difb b')$
$\forall X, Y\in B, a'\in A'.\, [X, a'*Y] = (X\difb a')*Y + a'*[X, Y]$
$\forall X\in B, a', b'\in A'.\, (a' * X)\difb b' = a' \cdot (X\difb b')$

新しい記号を定義で展開すれば：

$g(X)\dif (a'\cdot b') = (g(X)\dif a')\cdot b' + a'\cdot(g(X)\dif b')$
$[X, f(a')Y] = f(X\difb a')Y + f(a')[X, Y]$
$g(a'* X)\dif b' = a'\cdot (g(X)\dif b')$

これらの等式は、 $(f, g)$ が概リー／ラインハート代数射であることから容易に示せます。

以上から、概リー／ラインハート代数射は、2つの概リー／ラインハート代数を架橋して、新しい概リー／ラインハート代数を作る働きを持つことがわかりました。

そしてそれから

概リー／ラインハート代数の射は、合意された定義が見当たらなかったので、先に述べた指導原理「 $(f, g)$ により新しい概リー／ラインハート代数を作れるようにする」により定義してみました。この定義が適切かどうかは、自由ゲルステンハーバー代数構成やシュバレー／アイレンベルク関手とうまく噛み合うかで判断できます。

これはやってみないと判断できません。ひょっとすると何かの不整合が生じるかも知れません。そのときは定義をやり直すしかないですが、暫定的な定義はできたので、これで試してみます。

*1:積が反対称でさえない亜代数は dull algebroid〈鈍亜代数〉と呼んでいる例があります： Dorfman connections and Courant algebroids

*2:https://www.howtopronounce.com/yudilevich で聞いた感じではそう聞こえます。

*3:よく知られたライプニッツ法則とはちょっと違うので、ポアソン法則ということもあります。ポアソン／ライプニッツ法則と言えば無難かな。