昨日の記事「概リー／ラインハート代数とコジュール接続」への補足追記です。コジュール接続の圏の定義を変更したほうが便利な気がするので、それについて書きます。
内容：
要点：定義の変更箇所
概リー／ラインハート代数 上のコジュール接続の圏
の定義を変更します。「概リー／ラインハート代数とコジュール接続 // コジュール接続の圏」から変えるところは：
射の向きを逆にすることに実質的な意味はない（別にどっちでもいい）のですが、事例を見て多数派の方向に合わせました。
二番目・三番目の変更から、共変微分の差が現れます。共変微分の差とは、「接続形式、接続係数」などと呼ばれる量で、これを早めに導入したほうがいい気がしたので、射に対して「共変微分の差」を定義することにします。
射の定義
は概リー／ラインハート代数とします。
は環〈
-可換代数〉だったので、
-加群の圏を
とします。PEペアの圏
は次のように定義します。
（対象は
-加群）
（ホムセットは、結合すると恒等射になるペア達）
上のコジュール接続は
と（記号の乱用を使わずに）書くことにして、コジュール接続の圏のホムセットを以下のように定義します。（対象はコジュール接続です。）
つまり、台加群〈underlying module〉のあいだの任意の（何の条件も付けない）PEペアがコジュール接続のあいだの射になります。 は次のような忘却関手を定義します。
忘却関手 は、コジュール接続から共変微分を忘れる関手で、充満忠実関手（ホムセットごとに同型）になります。
コジュール接続のあいだの射を一文字 で書いたとき、
か
かは書き方の趣味の問題ですが、ここでは後者の書き方をします*1。射は、射影パート
と埋め込みパート
からなり、射の方向は射影パートの方向とします。「概リー／ラインハート代数とコジュール接続 // コジュール接続の圏」とは逆方向です。
共変微分の前送り
を2つのコジュール接続とします。
はコジュール接続のあいだの射です。共変微分の前送り〈pushforward〉を次のように定義します。
こうして定義した が加群
上の共変微分になることは「概リー／ラインハート代数とコジュール接続 // コジュール接続の圏」で確認しています。
共変微分の前送りは、前もって備わっている に限らず、任意の共変微分に対して有効です。加群
上の共変微分の全体を
とすると、共変微分の前送りは次のような関手を定義するわけです。
忘却関手を挟むことにより、この関手を 上の関手と思うこともできます。
図式内の関手 を同じ記号
で表します（うるさく区別する必要はないので）。
今の定義では、 は単なる集合ですが、
-アフィン空間／
-加群等質空間の構造を与えることができます。
共変微分の差
コジュール接続 は、加群
に対して
を添えた構造です。射
により共変微分
を前送りすると、
側の共変微分が得られます。
前送りされた共変微分と に備わる共変微分の差を取ることができます。この差を
と書きます。
この差は（一般には）共変微分にはなりませんが、-線形写像〈加群射〉になります。
確認しましょう。 に限定せずに、任意の2つの共変微分
に対して、その差が
-線形写像〈加群射〉であることを示します。
が足し算とゼロを保存するのはすぐ分かるので、右スカラー倍を保存するのを確認します。
したがって、 です。特に、
についても同じことが言えて：
共変微分の差の合成公式
前節の定義では、 ですが、次の同型があるので、
とみなすこともあります。
とみなした
は、コジュール接続射
の接続形式〈connection form〉と呼ばれます。
ここでは、 のままで扱うことにして、
を求める公式を与えます。
一般に、PEペア による
（係数が
であることに注意！）の要素の前送りを次のように定義します。
この前送りを使うと、共変微分の差の合成公式を書き下せます。
計算してみましょう。まず、次の前提があります。
これらを使って：
これから、先の共変微分の差の合成公式が出ます。共変微分の差の合成公式は様々な形で利用されます。
*1:より詳しいことは「構造とその素材の書き表し方 // インスタンスの書き方」参照。
