「デカルト・モノイド圏のあいだの関手、そして自然変換」にて：
デカルト圏をモノイド圏として定義したもの、つまり、デカルト・モノイド圏の定義はハッキリしています。が、デカルト・モノイド圏のあいだのデカルト構造を保つ関手、そのような関手のあいだの自然変換の定義って、意外に目にしないですね。
というわけで、デカルト・モノイド圏のあいだのデカルト・モノイド関手を定義しようと思ったのですが、前の記事で定義したデカルト・モノイド関手は条件がキツすぎて実用的じゃなかったです。状況を眺めてみると、「これがTHE・デカルト・モノイド関手だ」という規準的な定義は出来そうにありません。
結局、目的・用途に応じて色々なデカルト・モノイド関手があり得る、というのが結論です。ただし、大枠はあるので、この記事でデカルト・モノイド関手の大枠について述べます。$`\newcommand{\lax}{\mathrm{lax}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\require{color}
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For } }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%
%`$
内容：
関手の上に載った構造達
ラックス・モノイド関手を、台関手に載ったモノイド様構造〈monoid-like structure〉とみなす観点は有効だと思います。アナロジーとしては：
- ラックス・モノイド関手 ←→ モノイド
- 反ラックス・モノイド関手 ←→ コモノイド
ネーミングはバランスが取れてませんが、反ラックス・モノイド関手をラックス・コモノイド関手と呼べばアナロジーがよりハッキリするでしょう。
- ラックス・モノイド関手 ←→ モノイド
- ラックス・コモノイド関手 ←→ コモノイド
デカルト・モノイド関手を考える際は、ひとつの関手の上にモノイド様構造とコモノイド様構造が同時に載っている状況を考える必要があります。アナロジーをたどれば、モノイドでありコモノイドでもある代数系が対応物です。
モノイドでありコモノイドでもある代数系は双モノイド〈bimonoid〉と呼びます。ただし、双モノイドは単に「モノイドかつコモノイド」の意味ではなくて、モノイド構造とコモノイド構造の相互関係まで規定しています（https://ncatlab.org/nlab/show/bimonoid参照）。
ひとつの台集合にモノイド構造とコモノイド構造が（特に関係はなく）載っている構造には名前がないようです。ここでは前双モノイド〈prebimonoid〉。呼ぶことにします。前双モノイドに対応する関手上の構造はラックス前双モノイド関手〈lax prebimonoidal functor〉と呼ぶことにします。
- ラックス・モノイド関手 ←→ モノイド
- ラックス・コモノイド関手 ←→ コモノイド
- ラックス前双モノイド関手 ←→ 前双モノイド
モノイド圏 $`\cat{C}, \cat{D}`$ のあいだのラックス前双モノイド関手は、$`F = (\u{F}, \nu, \iota, \delta, \tau)`$ と書けます。ここで：
- $`\u{F}:\u{\cat{C}} \to \u{\cat{D}} \In {\bf Cat}`$ は台関手
- $`(\u{F}, \nu, \iota):\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\lax`$ はラックス・モノイド関手
- $`(\u{F}, \delta, \tau):\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\mrm{oplax}`$ はラックス・コモノイド関手〈反ラックス・モノイド関手〉
ラックス・モノイド構造とラックス・コモノイド構造〈反ラックス・モノイド構造〉のあいだの相互関係は何も仮定しません。
タイト・モノイド関手は、ラックス前双モノイド関手の非常に特殊なケースで、$`\nu, \delta`$ が互いに逆、$`\iota, \tau`$ が互いに逆になっています。
タイト・モノイド関手を、ラックス前双モノイド関手のなかで考えると極端な仮定を課しているので、中間的な仮定〈条件 | 法則〉を持つラックス・前双モノイド関手があっても良さそうな気がします。
デカルト・モノイド圏の2-圏
冒頭で次のように述べました。
「これがTHE・デカルト・モノイド関手だ」という規準的な定義は出来そうにありません。
...[snip]...
結局、目的・用途に応じて色々なデカルト・モノイド関手があり得る、というのが結論です。
「THE・デカルト・モノイド関手」は決められなくても、「目的・用途に応じたデカルト・モノイド関手」を決めることはできます。デカルト・モノイド関手とデカルト・モノイド自然変換を決めれば、デカルト・モノイド圏の2-圏が決まります。デカルト・モノイド圏の2-圏が目的・用途に応じて色々あるわけです。
デカルト・モノイド圏の2-圏のなかで標準的なものは決められなくても、一般的な条件なら記述できるでしょう。つまり、「『デカルト・モノイド圏の2-圏』と名乗る2-圏はこうあるべき」は言えるはずです。$`\cat{K}`$ が2-圏だとして、これが「デカルト・モノイド圏の2-圏」である条件を以下で述べます。
まずは、$`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ という2-圏を定義します。
- $`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ の対象はデカルト・モノイド圏
- $`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ のホム圏は台圏のあいだの関手圏として定義する。
i.e. $`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}(\cat{C}, \cat{D}) := {\bf Cat}(\u{\cat{C}}, \u{\cat{D}} )`$
$`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ の対象はデカルト・モノイド圏という構造を持った圏ですが、関手も自然変換も特にデカルト・モノイド構造を意識しないプレーンな関手／自然変換です。
2-圏 $`\cat{K}`$ と2-関手 $`J:\cat{K} \to {\bf CartMonCat}^\mrm{plain} \In {\bf 2CAT}`$ がデカルト・モノイド圏の2-圏〈2-category of Cartesian monoidal categories〉だとは、次の条件を満たすことだと定義します。
- $`|\cat{K}| = |{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}|`$ であり、$`J`$ の対象部分は恒等写像である。
- ホム圏のあいだの関手 $`J_{\cat{C}, \cat{D}}: \cat{K}(\cat{C}, \cat{D}) \to {\bf CartMonCat}^\mrm{plain}(\cat{C}, \cat{D})`$ は、埋め込み関手である。
対象上で恒等〈identity-on-objects〉な埋め込み2-関手 $`J`$ が存在するので、2-圏 $`\cat{K}`$ は次のように解釈できます。
- $`\cat{K}`$ の対象はデカルト・モノイド圏である。
- $`\cat{K}`$ の射はデカルト・モノイド圏のあいだの関手である。
- $`\cat{K}`$ の2-射はデカルト・モノイド圏のあいだの関手のあいだの自然変換である。
この定義によれば、$`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ は、恒等2-関手により“デカルト・モノイド圏の2-圏”と呼べます。が、通常は、関手／自然変換に何らかの構造・条件を付け加えて「目的・用途に応じたデカルト・モノイド圏の2-圏」を定義します。
関手上の規準的コモノイド構造
2-圏 $`{\bf CartMonCat}^\mrm{plain}`$ の射は単なる関手です。特に何の構造も仮定していません。しかし、関手の両端（域圏と余域圏）がデカルト・モノイド圏であることから、規準的に〈canonically〉ラックス・コモノイド構造が載ります。つまり、デカルト・モノイド圏のあいだの任意の関手はラックス・コモノイド関手〈反ラックス・モノイド関手〉になります。このことをこの節で説明します。
原則的に「デカルト・モノイド圏のあいだの関手、そして自然変換 // 記号と言葉の約束」に従うとして、デカルト・モノイド圏を $`\cat{C} = (\u{\cat{C}}, \otimes, I, \Delta, !)`$ と書きます。必要があれば、各構成素の左肩にデカルト・モノイド圏を添えます。
$`\quad \cat{C} = (\u{\cat{C}}, {^\cat{C}\otimes}, {^\cat{C}I}, {^\cat{C}\Delta}, {^\cat{C}!})`$
この記法は特に、射影を書くときに意味を持ちます。例えば：
$`\quad {^\cat{C}\pi^1_{A, B}} :A\otimes B \to A \In \cat{C}`$
2つのデカルト・モノイド圏 $`\cat{C}, \cat{D}`$ に対して、任意の関手を $`F:\u{\cat{C}} \to \u{\cat{D}} \In {\bf Cat}`$ とします。$`(F, \delta, \tau)`$ がラックス・コモノイド関手〈反ラックス・モノイド関手〉になるような $`\delta, \tau`$ を定義しましょう。
$`\For A, B \in |\cat{C}| = |\u{\cat{C}}| \\
\Define \delta_{A, B} : F(A\otimes B) \to F(A) \otimes F(B) \In \u{\cat{D}} := \\
\quad {^\cat{D}\Delta}_{F(A\otimes B)} ;( F({^\cat{C}\pi^1_{A, B}}) \,{^\cat{D}\otimes}\, F({^\cat{C}\pi^2_{A, B}}) ) = {^\cat{D}\langle F({^\cat{C}\pi^1_{A, B}}), F({^\cat{C}\pi^2_{A, B}})\rangle}\\
\Define \tau: F({^\cat{C}I}) \to {^\cat{D}I} \In \u{\cat{D}} :=
{^\cat{D}!}_{F({^\cat{C}I})}`$
$`(F, \delta, \tau)`$ がほんとにラックス・コモノイド関手〈反ラックス・モノイド関手〉になっていることの確認はルーチン作業が必要です、割愛します。
デカルト・モノイド関手
「目的・用途に応じて色々なデカルト・モノイド関手」があるわけですが、デカルト・モノイド関手を定義するときは、規準的な余モノイド構造 $`(F, \delta, \tau)`$ との関係を考慮すべきでしょう。
例えば、$`F = (\u{F}, \nu, \iota):\cat{C} \to \cat{D}`$ がラックス・モノイド関手だとして、$`\nu, \iota`$ がそれぞれ規準的な $`\delta, \tau`$ の逆だと定義するのもアリはアリです（使いにくいですが）。
ひとつの台集合にモノイド構造／コモノイド構造が載った前双モノイドに法則を付け加えて様々な代数系を定義可能であるのと同様に、ひとつの台関手にモノイド構造／コモノイド構造（規準的）が載ったラックス前双モノイド関手に法則を付け加えて様々なデカルト・モノイド関手を定義可能です。
