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参照用 記事

圏の対象の同型同値類の集合

考える圏は小さい圏にします。小さい圏とは、集合圏 $`{\bf Set}`$ の内部圏〈圏対象〉です。こう仮定したからと言って、サイズの問題を完全に無視してるわけでもありません。集合圏のベースになるグロタンディーク宇宙を一レベル上げれば、大きい圏も扱えます。

圏の2つの対象(同一対象でもいい)の同型関係を $`\cong`$ で表します。紛らわしいときは、圏 $`\mathcal{C}`$ の同型関係を $`\cong_{\mathcal{C}}`$ と、圏を明示します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
`$

2つの圏 $`\cat{C}, \cat{D}`$ の対象集合を同型関係で分類した商集合が、集合として同型なら、$`\cat{C}`$ と $`\cat{D}`$ はある意味「似ている」と言えるでしょう。

$`\quad (\cat{C}/\!\cong) \;\cong_{\bf Set} (\cat{D}/\!\cong) \In {\bf Set}`$

例えば、“有限次元実ベクトル空間の圏”*1と“実係数の行列の圏”はこの意味で似ています。

どんなときにこの意味で似ているか? に対して、圏同値という概念を使うとうまく説明できます。しかし、あんまり大道具を使いたくないなー、とちょっと考え込んでいました。部分圏に少し説明を付け足すだけでも間に合いそうだな、と気づきました。

  • $`D`$ が $`C`$ の充満部分圏〈full subcategory〉であるとは: $`\forall A, B\in |\cat{D}|.\, \cat{D}(A, B) = \cat{C}(A, B)`$
  • $`D`$ が $`C`$ の広い部分圏〈{wide | broad} subcategory〉であるとは: $`|\cat{D}| = |\cat{C}|`$
  • $`D`$ が $`C`$ の本質的に広い部分圏〈essentially {wide | broad} subcategory〉であるとは: $`\forall Y\in |\cat{C}|. \exists X \in |\cat{D}|.\, X \cong Y`$

次が成立します。

  • $`D`$ が $`C`$ の本質的に広い充満部分圏ならば、 $`(\cat{C}/\!\cong) \;\cong_{\bf Set} (\cat{D}/\!\cong) \In {\bf Set}`$ である。

$`\mrm{Iso}(\cat{C})`$ を、対象は $`\cat{C}`$ と同じで、射を同型射だけに制限した圏だとします(亜群〈groupoid〉になります)。次が成立します(ほぼ自明)。

  • $`(\cat{C}/\!\cong) \;\cong_{\bf Set} (\mrm{Iso}(\cat{C})/\!\cong) \In {\bf Set}`$

これらだけでも、“圏の対象の同型同値類の集合の同型”を示すことが出来る場合が、けっこうあります。

*1:追記:有限次元実ベクトル空間の圏は大きい圏ですが、最初に注意したように、宇宙と集合圏のサイズ・レベルを上げて考えれば大丈夫です。