関係（非決定性写像）に関する用語 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

関係（非決定性写像）に関する用語を一式準備します。できるだけ新しい言葉を作らないで、既存の言葉を流用します。その流用が整合的であることにも注意をはらいます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
`$

内容：

同じモノ、同じコト
関係に関する用語

続き：

(続き) 関係（非決定性写像）に関する記法

同じモノ、同じコト

関係〈二項関係〉と非決定性写像とブール値係数の行列は、事実上同じモノです。

$`X, Y`$ は集合とします。$`{\bf B}`$ はブール値〈二値真偽値〉からなる集合（ブール型）、$`\mrm{Pow}(\hyp)`$ はベキ集合〈power set〉を作る操作を表すとします。以下に挙げる3つのモノは、相互に移りあえます。

部分集合 $`R \subseteq X \times Y`$
ベキ集合への写像 $`f: X \to \mrm{Pow}(Y)`$
2つのインデックスを持つブール値の族 $`A :X\times Y \to {\bf B}`$

上から順に、「$`X`$ から $`Y`$ への関係」、「$`X`$ から $`Y`$ への非決定性写像」、「$`X`$ と $`Y`$ をインデックス集合とするブール値係数の行列」と呼びます。$`x\in X, y\in Y`$ に対して、以下は同じコトです。

$`(x, y) \in R`$
$`y \in f(x)`$
$`A(x, y) = \mrm{True}`$

$`R, f, A`$ が相互に移りあえるモノ達です。歴史的経緯から、同じコトでも違った書き方をします。

関係記号を中置演算子記号のように書けば、$`(x, y) \in R`$ は $`x\,R\,y`$ と書く。
$`\mrm{True}`$ を $`1`$ と書いて、インデックス〈添字〉をテンソル計算の流儀で書けば、$`A(x, y) = \mrm{True}`$ は $`A_x^y = 1`$ と書く。

また、ブール値係数の行列は次のようなモノと考えることもできます。

2つの引数を持つブール値写像 $`p :X\times Y \to {\bf B}`$

このときは、「$`X`$ と $`Y`$ に関する二項述語」と言います。

ブール値の論理ORを足し算とみなすと、無限の足し算でも自由にできます。“ブール値係数の行列とみなした成分総和”と“二項述語とみなした存在限量〈existential quantification〉”は同じコト（相互に移りあえるコト）です。

$`\quad \sum_{x\in X}A_x^y \longleftrightarrow \exists x\in X. p(x, y)`$

関係に関する用語

同じモノ／同じコトに異なるたくさんの言葉を割り当てたり、既存の言葉があるのに新しい言葉を追加したりすると、概念は単一（あるいは少数）なのに、言葉ばかり増える現象が起きます。覚えることが増えて嫌です。言葉が違うと同一性（あるいは同型性、同値性）が認識できないリスク*1も増えます。（逆に、偶発的な同綴異義語で混乱することもありますが。）

関係に関する言葉〈用語〉を一式準備したいのですが、上記の理由から、既存の言葉を整合性を保って流用したいと思います。既存の言葉は次のような言葉達です。

写像に関して：域、余域、像、単射、全射
線形写像に関して：核〈零空間 | null space〉、余核、余像〈coimage〉
部分写像に関して：全域〈total〉
行列に関して：転置

関係に関しても、これら既存の言葉を流用します。表立っては使わない裏メニュー・アイテムのような言葉を少数追加します（以下の表で丸括弧で囲っています）。ほんとに新規な言葉として「単葉〈univalent | 一価〉」がありますが、これも複素関数論などで既存の言葉です。

既存の用語	関係に関する用語	略記
域	域	dom
余域	余域	cod
像	像	img または im
単射【形容詞】	単射的	isInj
全射【形容詞】	全射的	isSurj
核	(零域)	null
余核	(余零域)	conull
余像	余像	coimg または coim
全域【形容詞】	全域的	isTotal
	単葉【形容詞】	isUniv
転置	転置	(-)^t （右肩に t）

形容詞はなるべく「的」を付けることにしますが、単葉には「的」を付けてません。「的」を省いても文句は言わないことにします。

関係を $`R\subseteq X\times Y`$ として、以下に用語の定義を挙げます。

$`\mrm{dom}(R) := X`$
$`\mrm{cod}(R) := Y`$
$`\mrm{img}(R) := \{y\in Y\mid \exists x\in X.\, (x, y)\in R \}`$
$`\mrm{isInj}(R) :\Iff \forall x, x'\in X, y\in Y.\, (x, y)\in R \land (x', y)\in R \Imp x = x'`$
$`\mrm{isSurj}(R) :\Iff \forall y\in Y.\exists x\in X.\, (x, y)\in R`$
$`\mrm{null}(R) := \{x\in X\mid \lnot (\exists y\in Y.\, (x, y)\in R) \}`$
$`\mrm{conull}(R) := Y \setminus \mrm{img}(R)`$
$`\mrm{coimg}(R) := X \setminus \mrm{null}(R)`$
$`\mrm{isTotal}(R) :\Iff \forall x\in X.\exists y\in Y.\, (x, y)\in R`$
$`\mrm{isUniv}(R) :\Iff \forall x\in X, y, y'\in Y.\, (x, y)\in R\land (x, y')\in R \Imp y = y'`$
$`R^t := \{(y, x) \in Y\times X\mid (x, y)\in R\}`$

線形写像とのアナロジーは、関係を非決定性写像と考えて、ゼロベクトルを空集合だと思って、商空間をとる（割り算する）代わりに集合の引き算をしています。念のため、線形写像に関する定義は：