「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論」でも触れたことですが、米田埋め込み／余米田埋め込み／ホムセットの記法が色々ありすぎます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}`$
| $`\text{ハイフン記法}`$ | $`h\text{記法}`$ | $`y\text{記法}\\ \text{上下添字}`$ | $`y\text{記法}\\ \text{累乗}`$ | $`\text{よ記法}\\ \text{ロージエン}`$ | $`\text{よ記法}\\ \text{ロマン}`$ |
| $`\cat{C}(\hyp, B)`$ | $`h_B`$ | $`y_B`$ | $`B^y`$ | $`よ_{\cat{C}}B`$ | $`よ^B`$ |
| $`\cat{C}(A, \hyp)`$ | $`h^A`$ | $`y^A`$ | $`y^A`$ | $`よ^\vee_{\cat{C}}A`$ | $`よ_A`$ |
| $`\cat{C}(\hyp, \hyp)`$ | $`よ`$ | ||||
| $`\cat{C}(A, B)`$ | $`h_B A, h^A B`$ | $`y_B(A), y^A(B)`$ | $`B^A`$ | $`よ^B_A`$ |
h記法は、表現可能関手の記法としてよく使われます。表現可能関手は米田埋め込み（または余米田埋め込み）の値のことです。例えば次は、nLab項目 "hom functor" からの引用（コピー画像）です。
累乗形式のy記法は、例えばスピヴァック／ニウ〈David I. Spivak, Nelson Niu〉の "Polynomial Functors: A General Theory of Interaction" から引用すると：
関連することは「スピヴァックの指数記法（米田不定元）」にも書いています。
文字 'y' に上下の添字を使う記法は伝統的です。文字 'y' を大文字にしたしたりフォントを変えたりはします。例えば、nLab項目 "Yoneda embedding" では大文字 'Y' を使っています。
よ記法の起源については米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」に書いています。ロージエン〈Fosco Loregian〉の教科書で広く知られるようになりました。
よ記法に上下の添字を組み合わせたのはロマン〈Mario Román〉あたりでしょう。ただし、添字の上下がそれまでの習慣とは逆です。ロマンの "Profunctor optics and traversals" から引用すると：
ニンジャ米田の補題なら、次のように表記します。
「米田の「よ」とニンジャ米田の補題」などに書いたように、米田の「よ」は、クロネッカー／ディラックのデルタと似てる（下図、形だけの話ではない）ので、$`\delta`$ をそのまま使うという選択肢もあるでしょう。
「よ」を使うにしろ「$`\delta`$」を使うにしろ、上下の添字の約束をどうするかで悩みます。他の記法・図法との兼ね合いの問題なんですけどね。
