ひとつ前の記事「圏論のエンドとコエンドは双対なんだよ」において、“連立方程式系の解空間”と“関係族の同値閉包による商集合”が双対的だという話をしました。この双対性はちょっと不思議な感じがします。
最終的には、写像（集合圏の射）の並行ペア（両端が同一である射のペア）の極限と余極限に帰着されます。双対性の根源は、極限と余極限が双対だからです。そう言われれば、圏論的メカニズムに不思議さはないのですが、集合圏における極限と余極限の具体的実現方法が不思議さを醸し出しているのでしょう。
並行ペアの極限（イコライザー）も並行ペアの余極限（コイコライザー）も等式を使って表現できます。しかし、等式の解釈が全然違うのです。等式の解釈が双対的なのです。$`
%\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
%\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op}}
`$
議論は集合圏内で行います。集合圏内の並行ペア〈写像の並行ペア〉を考えます。
$`\quad \xymatrix{
X \ar@/^/[r]^l \ar@/_/[r]_r
& Y
} \In \mbf{Set}`$
上の図式は可換図式ではありません（たまたま可換なことはあるでしょうが）。
圏論的なドライな定義（集合圏に限定はされない）を並べると：
- 並行ペアの極限対象（極限錐の頂点）を $`\mrm{Eq}(l, r)`$ と書いて、$`l, r`$ のイコライザー対象〈equalizer object〉と呼ぶ。
- 並行ペアの極限の射影のひとつを $`\mrm{eq}(l, r) : \mrm{Eq}(l,r) \to X`$ と書く。この射〈写像〉は イコライザー射〈equalizer morphism〉と呼ぶ。イコライザー対象もイコライザー射も単にイコライザーと呼ぶことがある。
- 並行ペアの余極限対象（余極限余錐の余頂点）を $`\mrm{Coeq}(l, r)`$ と書いて、$`l, r`$ のコイコライザー対象〈coequalizer object〉と呼ぶ。
- 並行ペアの余極限の入射〈余射影〉のひとつを $`\mrm{coeq}(l, r) : Y \to \mrm{Coeq}(l,r)`$ と書く。この射〈写像〉はコイコライザー射〈coequalizer morphism〉と呼ぶ。コイコライザー対象もコイコライザー射も単にコイコライザーと呼ぶことがある。
イコライザー射は単射なので、イコライザー対象を集合 $`X`$ の部分集合とみなすことができます。コイコライザー射は全射なので、コイコライザー対象を集合 $`Y`$ の商集合とみなすことができます。これは、部分集合と商集合の双対性です。
写像の並行ペア $`l, r`$ は次の等式の形に書けます。
$`\text{For }x \in X\\
\quad l(x) = r(x)
`$
$`X`$ の部分集合としてのイコライザー対象を定義するときに、この等式は選別条件〈select condition〉として使われます。$`X`$ の要素 $`x`$ を動かしたときに、実際に $`l(x)`$ と $`r(x)`$ が等しいなら $`x`$ を残す、等しくないなら $`x`$ を捨てる、として当該の部分集合を切り抜くのです。
一方で、$`X`$ の商集合としてのコイコライザー対象を定義するときは、この等式は同一視宣言〈identify declaration〉として使われます。$`y, y' \in Y`$ が、$`y = l(x), y' = r(x)`$ であるとき同一視するのです。$`X`$ の要素 $`x`$ は同一視のパラメータとして動かします。同一視宣言の等式は、$`Y`$ の要素 $`l(x)`$ と $`r(x)`$ は同じとみなす、と宣言しています。この同一視により、$`Y`$ の要素を張り合わせて商集合を作ります。
条件により残す／捨てるを決めて切り抜くことと、宣言に基づいて同一視すべき要素を張り合わせることは双対な操作なのです。そして、どちらも等式として表現されます。
